/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 8426927

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A = (3,− 4), B = (7,8), C = (− 1,4) .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Z rysunku powinno być widać, że AC = BC . Dla pewności sprawdźmy to.

∘ ------------------- √ --------- √ ---- AB = (7− 3)2 + (8 + 4 )2 = 16+ 144 = 1 60 ∘ --------------------- 2 2 √ -------- √ --- BC = ∘ (−-1-−-7)--+-(4-−-8)--= 64 + 1 6 = 80 2 2 √ -------- √ --- AC = (− 1− 3) + (4 + 4 ) = 16+ 64 = 80 .

Obliczyliśmy też długość AB , żeby mieć pewność, że trójkąt nie jest równoboczny – wtedy miałby 3 osie symetrii.

Szukana oś symetrii jest więc symetralną boku AB . Jak zwykle w geometrii analitycznej, możemy ją wyznaczyć na różne sposoby.

Sposób I

Szukana prosta jest prostą przechodzącą przez punkt C oraz przez środek

( 3 + 7 − 4+ 8) S = ------,------- = (5,2) 2 2

odcinka AB . Korzystamy teraz ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA ) − (yB − yA )(x− xA) = 0.

W naszym przypadku przyjmujemy A = C ,B = S i mamy

(y − yC )(xS − xC) − (yS − yC )(x− xC) = 0 (y − 4)(5 + 1) − (2 − 4)(x + 1) = 0 / : 2 3y − 1 2+ x+ 1 = 0 1- 1-1 y = − 3x + 3 .

Sposób II

Szukana prosta jest prostopadła do AB i przechodzi przez S . W takiej sytuacji bardzo wygodny jest wzór na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) 0 0

p(x − x ) + q(y − y ) = 0 . 0 0

W naszej sytuacji mamy → → v = AB = [4,12] i P = C , co daje równanie

4 (x+ 1)+ 1 2(y− 4) = 0 / : 4 1- 1-1 x + 1 + 3y − 12 = 0 ⇒ y = − 3x + 3 .

Sposób III

Możemy również myśleć o szukanej osi symetrii jak o zbiorze punktów (x,y) , które są równo odległe od punktów A i B (symetralna odcinka AB ). Daje to nam równość

∘ ------------------- ∘ ------------------- 2 (x − 3)2 + (y + 4 )2 = (x − 7)2 + (y − 8)2 / () 2 2 2 2 x − 6x + 9 + y + 8y + 1 6 = x − 14x + 49 + y − 16y + 64 8x + 24y − 88 = 0 / : 8 1 11 x + 3y − 11 = 0 ⇒ y = − -x + ---. 3 3

 
Odpowiedź: y = − 1x+ 11 3 3

Wersja PDF