/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 8525383

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Prosta l , na której leży punkt P = (−6 ,−2 ) , tworzy z ujemnymi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 24. Wyznacz równanie prostej l .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Sposób I

Proste przechodzące przez punkt P = (− 6,− 2) mają równanie postaci

y = a(x+ 6)− 2 = ax + (6a − 2).

Prosta tej postaci przecina oś Oy w punkcie B = (0,6a − 2) . Wyznaczmy jeszcze punkt przecięcia z osią Ox .

−-(6a−--2)- ax + (6a − 2 ) = 0 ⇒ x = a .

W takim razie punkt przecięcia z osią Ox to ( ) A = −(6aa−2),0 . Jeżeli punkty te mają leżeć na ujemnych półosiach, to musi być ponadto spełniona nierówność a < 0 . Zapisujemy teraz podaną informację o polu trójkąta AOB .

2 24 = P = 1-⋅BO ⋅AO = 1-⋅(− (6a− 2))⋅ (6a−--2)-= − 2-(3a−--1)- / ⋅ a AOB 2 2 a a 2 12a = − 9a 2 + 6a − 1.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

0 = 9a2 + 6a+ 1 = (3a + 1)2 ⇒ a = − 1. 3

Jest więc tylko jedna prosta spełniająca warunki zadania.

y = − 1x − 4. 3

Sposób II

Jeżeli y = ax + b jest szukaną prostą, to ponieważ prosta ta przechodzi przez P , mamy

− 2 = − 6a+ b ⇒ b = 6a − 2

i szukana prosta ma wzór postaci y = ax + (6a − 2) . Dalej zadanie rozwiązujemy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Sposób III

Tym razem szukamy prostej w postaci odcinkowej

x- y- a + b = 1.

Prosta o takim równaniu przecina osie Ox i Oy odpowiednio w punktach A = (a,0) i B = (0,b) . Podane pole trójkąta AOB daje nam więc równanie

1 1 48 24 = --⋅AO ⋅BO = -(−a )(−b ) ⇒ b = --. 2 2 a

Podstawiając współrzędne punktu P otrzymujemy

−-6- −-2- −-6- −-2- 6- a-- 1 = a + b = a + 48 = − a − 24 /⋅ 24a a 24a = − 1 44− a2 2 a + 24a + 144 = 0 Δ = 576 − 576 = 0 a = −-24-= − 12. 2

Mamy wtedy

48 b = ---= −4 a

i jest jedna prosta spełniająca warunki zadania.

--x-- -y-- − 12 + − 4 = 1.

 
Odpowiedź: 1 y = − 3x− 4 , postać odcinkowa: x y −-12 + −4-= 1

Wersja PDF