Zadanie nr 8629618

Napisz równanie okręgu, który jest styczny do prostej y = x w punkcie A = (− 2,− 2) , oraz który odcina z prostej y = −x − 6 cięciwę o długości 8.

Rozwiązanie

Dane proste są do siebie prostopadłe. Sprawdźmy jeszcze jaki jest ich punkt przecięcia.

{ y = x y = −x − 6.

Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego.

x = −x − 6 ⇒ x = − 3.

Stąd y = x = − 3 i punkt wspólny prostych to B = (− 3,− 3) . Teraz możemy wykonać szkicowy rysunek.

Ponieważ okrąg ma być styczny do prostej k : y = x w punkcie A = (− 2,− 2) , jego środek musi leżeć na prostej prostopadłej do i przechodzącej przez punkt . Wyznaczmy równanie tej prostej. Ma ona postać y = −x + b liczbę wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

− 2 = 2+ b ⇒ b = − 4.

Zatem środek okręgu leży na prostej y = −x − 4 .

Zrobiliśmy rzeczy, które były oczywiste, więc pora teraz na chwilę zastanowienia. Niech będzie środkiem cięciwy wyciętej przez okrąg z danej prostej y = −x − 6 . Zauważmy, że trójkąt OCD jest prostokątny i możemy łatwo obliczyć długości jego przyprostokątnych: OC = AB , a to połowa długości cięciwy. Możemy więc łatwo obliczyć długość promienia okręgu . Liczymy

2 2 2 AB = (− 3+ 2) + (− 3+ 2) = 2 OD 2 = OC 2 + CD 2 = AB 2 + CD 2 = 2 + 1 6 = 18.

Promień okręgu jest więc równy √ --- √ -- R = 18 = 3 2 . Szukamy teraz punktu na prostej y = −x − 4 , który jest odległy od o . Szukamy punktu postaci O = (x,−x − 4) .