/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 8635514

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że punkt o współrzędnych ( √2- √46−4√-2) − 2 , 2 jest wierzchołkiem kwadratu opisanego na okręgu o równaniu

√ -- √ -- x2 + y2 − 2x 2 + 4y 2 + 2 = 0.

Rozwiązanie

Przekształćmy dane równanie okręgu tak, aby ustalić jaki jest jego środek i promień.

2 2 √ -- √ -- x + y − 2x 2 + 4y 2+ 2 = 0 √ -- √ -- 2 2 √ -- √ --2 (x − 2√x--2 + ( 2 )√)+-(y + 4y 2√+--(2 2) )− 2− 8+ 2 = 0 (x − 2)2 + (y + 2 2)2 = 8 = (2 2)2.

Jest to więc okrąg o środku √ -- √ -- S = ( 2,− 2 2) i promieniu √ -- r = 2 2 .

PIC

Jeżeli oznaczymy przez a długość boku kwadratu opisanego na tym okręgu, to

√ -- a = 2r = 4 2 .

Jeżeli teraz R jest promieniem okręgu opisanego na tym kwadracie, to

√ -- a 2 √ --√ -- R = -----= 2 2⋅ 2 = 4. 2

Pozostało teraz sprawdzić, że dany punkt ( √ - √ -- √-) A = − --2,--46−-4-2 2 2 leży w odległości R = 4 od środka √ -- √ -- S = ( 2,− 2 2) danego okręgu. Liczymy

( √ --) 2 ( √ --- √ -) 2 √ -- 2 √ -- 46− 4 2 AS 2 = 2 + ---- + − 2 2 − ------------ = 2 2 ( √ -) 2 ( √ --) 2 = 3---2 + − --46- = 18-+-4-6 = 64- = 16. 2 2 4 4

Zatem rzeczywiście AS = 4 = R .

Wersja PDF