Zadanie nr 8726572

W trójkącie prostokątnym ABC , gdzie ∘ |∡ACB | = 90 , wierzchołek ma współrzędne (6,0) . Prosta k : 1 1x+ 2y − 6 = 0 , zawierająca środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka , przecina bok trójkąta w punkcie ( 1) S = 1,− 22 . Wyznacz współrzędne punktów i .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Ponieważ znamy współrzędne punktu i środka odcinka , możemy łatwo wyliczyć współrzędne punktu A = (x ,y ) .

( ) ( ) 1,− 5- = S = A-+--B-= x+--6, y-+-0 2 2 2 2 { 2 = x + 6 ⇒ x = − 4 − 5 = y

Zatem A = (− 4,− 5) i pozostało wyznaczyć współrzędne punktu .

Sposób I

Ponieważ punkt ma leżeć na prostej jest on postaci ( 11 ) C = (x ,y) = x ,3− 2-x . Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy zatem

2 2 2 AC + BC (= AB ) ( ) 2 11 2 2 11 2 2 2 (x + 4) + 3− ---x+ 5 + (x − 6) + 3− ---x− 0 = (6+ 4) + (0 + 5) ( 2 ) (2 ) 2 11 2 2 11 2 x + 8x + 16 + 8− ---x + x − 12x + 36+ 3 − --x = 12 5 2 2 2x2 − 4x − 73 + 64 − 88x + 121-x2 + 9− 33x + 121-x2 = 0 4 4 125 2 2 ----x − 125x = 0 / ⋅---- 22 12 5 x − 2x = 0 x(x − 2) = 0 .

Zatem x = 0 lub x = 2 . Wtedy odpowiednio y = 3 lub y = − 8 .

Sposób II

Ponieważ punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC (zawsze środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej), więc wystarczy znaleźć punkty danej prostej i okręgu o środku w punkcie i promieniu , gdzie