Zadanie nr 8764949

W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie poprowadzono wysokość z wierzchołka . Wyznacz równanie prostej zawierającej tę wysokość, jeśli A = (2,8 ) , B = (−2 ,4) .

Rozwiązanie

Jeżeli naszkicujemy opisaną sytuację, to widać, że musimy napisać równanie symetralnej odcinka .

Sposób I

Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→v = A→B = [− 2 − 2,4 − 8] = [− 4,− 4]

oraz 2−2-8+-4 P = ( 2 , 2 ) = (0,6) (środek odcinka ). Zatem szukana prosta ma równanie

− 4(x − 0 )− 4(y − 6 ) = 0 / : (− 4 ) x + y − 6 = 0 y = −x + 6.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (2,8 ) i (−2 ,4) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ 8 = 2a + b 4 = − 2a + b

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby zredukować ) mamy 4 = 4a , czyli a = 1 . Współczynnik nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy − 1 (bo pomnożony przez 1 ma dawać − 1 ). Zatem symetralna ta ma postać y = −x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka , czyli punktu 2−2- 8+4- P = ( 2 , 2 ) = (0,6) .