Zadanie nr 8789998

Na krzywej xy = 6 obrano punkty A (2,3) i B (6 ,1) . Znajdź na tej krzywej taki punkt o ujemnej odciętej, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze.

Rozwiązanie

Szkicujemy hiperbolę 6 y = x i zaznaczamy na niej podane punkty i .

Niech ( ) C = x,x6 będzie dowolnym punktem lewej gałęzi tej hiperboli. Pole trójkąta ABC najprościej jest obliczyć korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej, ale zanim to zrobimy obliczamy

∘ ------------------- 2 2 √ ------- √ --- √ -- AB = (6− 2) + (1− 3 ) = 16 + 4 = 20 = 2 5

oraz wyznaczamy równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 3 = 2a+ b 1 = 6a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

1 − 2 = 4a ⇒ a = − -- 2

Stąd b = 3 − 2a = 4 i prosta ma równanie

1 y = − -x + 4 /⋅ 2 2 2y + x − 8 = 0.

Obliczamy teraz odległość punktu od prostej (czyli wysokość trójkąta ABC opuszczoną na bok ).

|12 + x − 8| |12-+ x − 8 | h = --x√-------- = -x--√-------. 4+ 1 5

Zauważmy jeszcze, że łatwo możemy opuścić wartość bezwzględną. Możemy to zrobić geometrycznie, korzystając z tego, że punkt leży zawsze poniżej prostej , albo algebraicznie, korzystając z tego, że x < 0 :

12 12 + x 2 − 8x (x − 2 )(x− 6) ---+ x− 8 = ------------- = --------------- < 0. x x x

Mamy zatem

12 + x − 8 8 − x − 12 h = − -x--√------= ---√-----x- 5 5

i pole trójkąta ABC jest więc równe

12 f(x) = 1-AB ⋅h = 1-⋅2√ 5⋅ 8−-x√-−--x--= 8 − x − 12-. 2 2 5 x

Pozostało wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość tej funkcji określonej dla x ∈ (− ∞ ,0) . Liczymy pochodną

2 √ -- √ -- f′(x) = − 1+ 12-= 12-−-x--= − (x−--2--3)(x-+-2--3-). x2 x2 x2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla √ -- x ∈ (− ∞ ,− 2 3 ) i dodatnia dla √ -- x ∈ (− 2 3 ,0) . To oznacza, że funkcja maleje na przedziale √ -- (− ∞ ,− 2 3⟩ i rośnie na przedziale √ -- ⟨− 2 3 ,0) . W takim razie najmniejszą możliwą wartość funkcji otrzymamy dla √ -- x = − 2 3 . Mamy wtedy