/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 8796970

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (3,3) i B = (9,1) są wierzchołkami trójkąta ABC , a punkt M = (1,6) jest środkiem boku AC . Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej AB z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka C .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Wyznaczmy na początek równanie prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiając współrzędne punktów A i B mamy

{ 3 = 3a+ b 1 = 9a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić b ) i mamy

− 2 = 6a ⇒ a = − 1. 3

Stąd b = 1 − 9a = 1+ 3 = 4 i prosta AB ma równanie y = − 13x + 4 .

Wiemy, że punkt M jest środkiem odcinka AC – to pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne trzeciego wierzchołka C = (x ,y ) C C trójkąta ABC .

A + C M = ------- { 3+2x 1 = --2C- ⇒ xC = −1 6 = 3+yC- ⇒ y = 9. 2 C

Wysokość opuszczona na bok AB jest prostopadła do prostej AB , więc ma równanie postaci y = 3x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu C .

9 = − 3+ b ⇒ b = 1 2.

Zatem wysokość ta ma równanie y = 3x+ 12 . Szukamy teraz punktu wspólnego D tej wysokości i prostej AB .

{ y = − 13x + 4 y = 3x + 12

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić y ) i mamy

1 0 = 3x+ -x + 1 2− 4 3 − 8 = 10x / ⋅-3- 3 10 24 x = − ---= −2 ,4. 10

Stąd y = 3x + 1 2 = − 7,2 + 12 = 4,8 i D = (−2 ,4; 4,8)  
Odpowiedź: (− 2,4; 4,8)

Wersja PDF