/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 8896461

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta ABCD jeżeli A = (− 3,− 1) , B = (6,− 2) , C = (6,2) i D = (− 1,5 ) .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Aby wyznaczyć współrzędne punktu S napiszemy równania prostych AC i BD , a potem znajdziemy ich punkt wspólny.

Równania prostych AC i BD można napisać korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale my nie będziemy z niego korzystać.

Najpierw prosta AC : szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów A i C

{ −1 = − 3a+ b 2 = 6a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować b ) i mamy

1 3 = 9a ⇒ a = -. 3

Zatem b = 3a − 1 = 0 i prosta AC mam równanie y = 1x 3 .

Dokładnie w ten sam sposób wyznaczamy równanie prostej BD : podstawiamy do wzoru y = ax + b współrzędne punktów B i D .

{ − 2 = 6a+ b 5 = −a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

− 7 = 7a ⇒ a = − 1.

Zatem b = 5 + a = 4 i prosta BD ma równanie y = −x + 4 .

Teraz pozostało znaleźć punkt wspólny prostych AC i BD .

{ y = 1x 3 y = −x + 4.

Podstawiamy y = 13x z pierwszego równania do drugiego

1-x = −x + 4 3 4- 3- 3 x = 4 / ⋅ 4 x = 3.

Stąd 1 y = 3x = 1 i S = (3 ,1 ) .  
Odpowiedź: (3,1)

Wersja PDF