/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 9059336

Punkty A = (1,5),B = (14,31 ),C = (4,31 ) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D . Oblicz długość odcinka BD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Aby wyznaczyć współrzędne punktu D potrzebujemy znać równania prostych AB i CD . Zacznijmy od AB . Szukamy prostej postaci y = ax + b . Podstawiając współrzędne punktów A i B mamy układ równań

{ 5 = a+ b 3 1 = 14a + b

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy

2 6 = 13a ⇒ a = 2.

Zatem b = 5 − a = 3 i prosta AB ma równanie y = 2x + 3 .

Prosta CD jest prostopadła do AB , czyli ma postać y = − 1x + b 2 i przechodzi przez punkt C = (4,31) skąd

1- 31 = − 2 ⋅4 + b ⇒ b = 31 + 2 = 33 .

Zatem prosta CD ma równanie y = − 1 x+ 33 2 .

Szukamy teraz punktu wspólnego D prostych AB i CD .

{ y = 2x + 3 1 y = − 2x + 33 .

Odejmując od pierwszego równania drugie mamy

5- 0 = 2 x− 30 5 30 = -x 2 x = 12 .

Stąd y = 2x + 3 = 27 i D = (12,27 ) . Zatem

∘ ------------------------ √ ------- √ --- √ -- BD = (12 − 14 )2 + (27 − 3 1)2 = 4+ 16 = 20 = 2 5.

 
Odpowiedź: √ -- 2 5

Wersja PDF