/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 9125511

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty P = (− 3,4) , Q = (2,1 ) i R = (− 1,− 1) są środkami boków równoległoboku. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego równoległoboku.

Rozwiązanie

Zauważmy, że dwa z podanych punktów leżą na równoległych bokach równoległoboku. Nie wiemy jednak, które dwa punkty mają tę własność, więc rozważymy 3 przypadki.

Załóżmy najpierw, że P i R leżą na równoległych bokach równoległoboku ABCD – możemy tak oznaczyć wierzchołki równoległoboku, aby P ,Q,R było odpowiednio środkami boków AB ,BC ,CD .

PIC

Zauważmy, że przy tych oznaczeniach

−→ −→ −→ AD = BC = P R = [− 1 + 3,− 1 − 4] = [2,− 5].

To pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne wierzchołków B i C

[ ] ( ) 1-−→ 5- 3- C = Q + 2 BC = (2,1) + 1 ,− 2 = 3,− 2 [ ] ( ) 1-−→ 1-−→ 5- 7- Q = B + 2BC ⇒ B = Q − 2 BC = (2,1) − 1,− 2 = 1,2 .

Współrzędne punktów A i D wyznaczamy z tego, że P i R są środkami odcinków AB i DC .

( ) ( ) P = A-+-B-- ⇒ 2P = A + B ⇒ A = 2P − B = (−6 ,8)− 1, 7- = −7 , 9 2 2 2 D + C ( 3 ) ( 1 ) R = ------- ⇒ 2R = D + C ⇒ D = 2R − C = (− 2,− 2) − 3,− -- = − 5,− -- . 2 2 2

Załóżmy teraz, że P i Q leżą na bokach równoległych – przyjmijmy, że P ,R,Q leżą odpowiednio na bokach AB ,BC i CD . Analogicznie jak poprzednio mamy

−→ −→ −→ AD = BC = PQ = [2 + 3,1 − 4] = [5,− 3].

Obliczamy współrzędne wierzchołków B i C .

[ ] ( ) 1−→ 5- 3- 3- 5- C = R + 2BC = (−1 ,−1 )+ 2,− 2 = 2,− 2 [ ] ( ) R = B + 1−B→C ⇒ B = R − 1−B→C = (− 1,− 1) − 5,− 3- = − 7, 1 . 2 2 2 2 2 2

Wyznaczamy teraz współrzędne wierzchołków A i D

A + B ( 7 1 ) ( 5 15) P = ------- ⇒ 2P = A + B ⇒ A = 2P − B = (− 6,8)− − -,-- = − --,--- 2 ( 2 2) ( 2 )2 D + C 3 5 5 9 Q = ---2--- ⇒ 2Q = D + C ⇒ D = 2Q − C = (4,2) − 2,− 2- = 2,2- .

Pozostała ostatnia możliwość, gdy punkty Q i R leżą na bokach równoległych. Załóżmy, Q ,P,R leżą odpowiednio na bokach AB ,BC i CD .

PIC

Mamy zatem

−→ −→ −→ AD = BC = QR = [− 1 − 2,− 1 − 1] = [− 3,− 2].

Obliczamy współrzędne wierzchołków B i C .

[ ] ( ) 1-−→ 3- 9- C = P + 2 BC = (− 3,4) + − 2 ,−1 = − 2,3 [ ] ( ) 1-−→ 1-−→ 3- 3- P = B + 2 BC ⇒ B = P − 2BC = (− 3,4)− − 2,− 1 = − 2,5 .

Wyznaczamy teraz współrzędne wierzchołków A i D

A + B ( 3 ) ( 11 ) Q = ------- ⇒ 2Q = A + B ⇒ A = 2Q − B = (4 ,2)− − --,5 = --,− 3 2 2( ) 2 ( ) D + C 9 5 R = ------- ⇒ 2R = D + C ⇒ D = 2R − C = (−2 ,−2 )− − --,3 = -,− 5 . 2 2 2

 
Odpowiedź: ( 9 ) ( 7) ( 3 ) ( 1) − 7,-- , 1,-- , 3,− -- , − 5 ,− -- (2 )2 ( 2) ( ) 2( ) 5-15- 7-1- 3- 5- 5-9- lub − 2, 2 , − 2,2 , 2,− 2 , 2,2 ( ) ( ) ( ) ( ) lub 11,− 3 , − 3-,5 , − 9,3 , 5-,−5 2 2 2 2

Wersja PDF