Zadanie nr 9180291

Przekątna deltoidu zawiera się w prostej o równaniu y + 2x − 5 = 0 i ma taką samą długość jak przekątna . Przekątne te przecinają się w punkcie , takim że |AP | = 4|CP | . Wierzchołek ma współrzędne (9,7) . Oblicz współrzędne wierzchołków B,C i tego deltoidu.

Rozwiązanie

Szkicujemy deltoid.

Podane informacje pozwalają łatwo napisać równanie przekątnej – jest to prosta prostopadła do (bo przekątne deltoidu są prostopadłe), więc ma równanie postaci y = 1x + b 2 oraz przechodzi przez punkt .

1 5 7 = --⋅9+ b ⇒ b = -. 2 2

Przekątna ma więc równanie y = 1x + 5 2 2 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego z przekątną .

{ y = − 2x+ 5 y = 12x + 52

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

1- 5- 2x + 2 x = 5 − 2 5 5 --x = -- ⇒ x = 1. 2 2

Stąd y = − 2x + 5 = 3 i P = (1,3) . Teraz wyznaczymy wierzchołek C = (x,y) . Wiemy, że

−→ 1 −→ P C = -AP 4 [x− 1,y− 3] = 1[1 − 9,3 − 7] = [− 2,− 1]. 4

Stąd C = (− 2+ 1 ,−1 + 3 ) = (− 1,2) . Wiemy ponadto, że

∘ --------------------- √ --------- √ -- BD = AC = (− 1 − 9)2 + (2 − 7)2 = 1 00+ 25 = 5 5.

Aby wyznaczyć współrzędne punktów i szukamy takich punktów B = (x,− 2x + 5) prostej , dla których

√ -- PB = 1-BD = 5--5- / ()2 2 2 12-5 2 2 2 2 2 4 = (x − 1) + (− 2x + 5 − 3) = (x − 1) + 4(x − 1 ) = 5(x− 1) / : 5 25 5 ( 3 7 ) (x − 1)2 = --- ⇐ ⇒ x − 1 = ± -- ⇐ ⇒ x = − -- ∨ x = -- . 4 2 2 2

Mamy wtedy y = − 2x + 5 = 8 i y = − 2x + 5 = − 2 odpowiednio. Zatem ( 3 ) B = − 2,8 i ( 7 ) D = 2,− 2 lub odwrotnie.
Odpowiedź: C = (− 1,2) , ( ) B = − 32,8 , ( ) D = 7,− 2 2 lub ( ) B = 7 ,−2 2 , ( ) D = − 3,8 2