Zadanie nr 9210511

Dany jest punkt M = (2 ,8 ) . Wyznacz równanie takiej prostej , do której należy punkt , że na ujemnej półosi i dodatniej półosi układu xOy prosta ta wyznacza odcinki i , których suma długości jest równa 6. Oblicz obwód trójkąta AOB .

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Sposób I

Jeżeli y = ax + b jest szukaną prostą, to ponieważ prosta ta przechodzi przez , mamy

8 = 2a+ b ⇒ b = 8− 2a.

Aby wyznaczyć liczymy w jakich punktach prosta ta, czyli y = ax + 8− 2a przecina osie i . Oś przecina w punkcie (0,8− 2a) . Musimy mieć zatem

8− 2a > 0 ⇒ a < 4 .

Aby znaleźć punkt przcięcia z osią rozwiązujemy równanie

8- ax + 8 − 2a = 0 ⇒ x = 2− a.

Musimy zatem mieć

8 2 − --< 0 a 2a−--8-< 0 a a−--4- a < 0

Ponieważ już wcześniej ustaliliśmy, że a < 4 , nierówność ta oznacza, że a > 0 , czyli

0 < a < 4 .

Zapiszmy teraz warunek OA + OB = 6 .

|| || |8− 2a|+ |2 − 8-|= 6 | a | 8 8 − 2a − 2 + --= 6 a 8-= 2a / ⋅ a- a 2 4 = a2 ⇒ a = 2.

Mamy zatem k : y = 2x+ 4 , A = (− 2,0) i B = (0,4) . Ponieważ trójkąt AOB jest prostokątny, to

∘ ---2------2- √ ------- √ -- AB = OA + OB = 4+ 16 = 2 5.

Tak więc obwód trójkąta jest równy

√ -- √ -- 2+ 4+ 2 5 = 6 + 2 5 .

Sposób II

Jeżeli y = ax + b jest szukaną prostą, to przecina ona oś w punkcie i oś w punkcie − b a . Musimy zatem założyć, że b > 0 i a > 0 . Warunek OA + OB = 6 prowadzi do równania

b b+ a-= 6 ab+ b = 6a a(b− 6) = −b a = -−b---. b − 6

Pozostało sprawdzić, kiedy punkt (2,8) jest na prostej −b y = b−6x + b .

−b 8 = ------⋅2 + b b − 6 8(b− 6) = − 2b + b(b − 6) 2 8b− 48 = − 2b + b − 6b b2 − 16b+ 48 = 0.

Liczymy dalej, 2 Δ = 256 − 192 = 64 = 8 , b = 4 lub b = 12 . Druga z tych liczb daje jednak a = − 2 < 0 , co jest sprzeczne z naszymi założeniami. Zatem b = 4 i a = 2 . Obwód trójkąta AOB wyliczamy jak w sposobie I.