/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 9275549

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest romb o środku symetrii S = (2,1 ) . Bok AB jest równoległy do prostej o równaniu x + 2y = 0 . Wektor → AC ma współrzędne [12 ,6 ] .

  • Wyznacz współrzędne wszystkich wierzchołków rombu.
  • Sprawdź czy miara kąta ∡ABC jest większa niż 60∘ .

Rozwiązanie

  • Zacznijmy od rysunku.
    PIC

    Jeżeli narysujemy dany wektor → AC tak aby jego środkiem był punkt S , to końcami tego wektora będą punkty A i C . Wyznaczmy te punkty.

    → → → → AS = 1-AC SC = 1AC 2 2 [2− x,1− y] = [6,3] [x − 2 ,y− 1] = [6,3 ] A = (x,y) = (− 4,− 2) C = (x ,y) = (8,4).

    Mając punkt A możemy napisać równanie prostej AB . Jest ona postaci x + 2y + b = 0 i przechodzi przez A . Zatem

    − 4− 4+ b = 0 ⇒ b = 8.

    Podobnie wyznaczamy równanie prostej CD : x + 2y− 16 = 0 .

    Dalszy plan jest następujący, napiszemy równanie drugiej przekątnej, czyli prostej prostopadłej do wektora → AC i przechodzącej przez S , a na koniec znajdziemy jej punkty wspólne z prostymi AB i CD . Aby napisać równanie prostej BD , korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0)

    p(x − x0) + q(y − y0) = 0

    W naszej sytuacji

    1 2(x− 2)+ 6(y− 1) = 0 ⇒ 2x + y− 5 = 0.

    Przecinamy ją z prostą AB : x + 2y + 8 (od razu podstawiamy za y )

    x+ 2(− 2x + 5) + 8 = 0 − 3x+ 18 = 0 x = 3.

    Zatem B = (6,− 7) . Podobnie, przecinamy ją z prostą CD : x + 2y − 16 = 0 .

    x + 2(− 2x + 5 )− 1 6 = 0 − 3x − 6 = 0 x = −2 .

    Zatem D = (−2 ,9) .  
    Odpowiedź: A = (− 4,− 2) , B = (6,− 7) , C = (8,4) , D = (− 2,9)

  • Obliczymy cosinus kąta ∡ABC . Mamy → BA = [− 10,5] , → BC = [2,11] . Stąd
    B→A ∘ →BC − 20+ 55 co s∡ABC = -→------→-- = √----------√---------= |BA |⋅|BC | 100+ 25 4 + 121 = -35- < 1-= cos 60∘. 12 5 2

    Ponieważ co sx jest malejący w przedziale (0, π-) 2 , nierówność ta oznacza, że ∡ABC > 60∘ .  
    Odpowiedź: ∘ ∡ABC > 60

Wersja PDF