Zadanie nr 9359744

Punkt S(− 1,2) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC . Wierzchołek ma współrzędne (− 1,− 3) , a bok jest zawarty w prostej o równaniu 7x + y − 20 = 0 . Oblicz pole trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Skoro znamy środek okręgu opisanego na trójkącie i jeden z jego wierzchołków to możemy napisać równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC .

Zacznijmy od wyliczenia promienia.

∘ ------- AS = 0+ 52 = 5.

Zatem okrąg opisany ma równanie

(x + 1)2 + (y − 2)2 = 25.

Znajdźmy teraz punkty wspólne tego okręgu z podaną prostą y = − 7x + 20 .

(x + 1)2 + (− 7x + 20 − 2)2 = 2 5 2 2 x + 2x + 1 + 49x − 2 52x + 324 = 25 50x 2 − 25 0x+ 300 = 0 2 x − 5x + 6 = 0 Δ = 25 − 24 = 1 x = 2 ∨ x = 3.

Mamy wtedy odpowiednio y = 6 i y = − 1 (bo y = − 7x + 20 ). Zatem B = (3,− 1) i C = (2,6) (lub odwrotnie, nie ma to znaczenia).

Pole trójkąta wyliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Skoro znamy współrzędne wszystkich trzech wierzchołków, możemy skorzystać ze wzoru

1 PABC = 2-|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|.

W naszej sytuacji mamy

1- 1- P = 2 |(3 + 1)(6 + 3 )− (− 1 + 3)(2 + 1)| = 2 |36− 6| = 15.

Sposób II

Do wyliczenia pola potrzebujemy długość podstawy i wysokość. Długość podstawy to po prostu długość odcinka , a wysokość to odległość punktu od prostej . Liczymy