/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 9380369

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W układzie współrzędnych punkty A = (4 ,3) i B = (10,5 ) są wierzchołkami trójkąta ABC . Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3 . Oblicz współrzędne punktu C , dla którego kąt ABC jest prosty.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Napiszmy najpierw równanie prostej AB . Szukamy równania w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 3 = 4a + b 5 = 10a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

2 1 2 = 6a ⇒ a = --= -. 6 3

Stąd 4 5 b = 3 − 4a = 3− 3 = 3 i prosta AB ma równanie 1 5 y = 3x+ 3 .

Łatwo teraz napisać równanie przyprostokątnej BC – jest to prosta prostopadła do AB , więc ma równanie postaci y = − 3x + b . Ponadto przechodzi ona przez punkt B , więc

5 = − 30 + b ⇒ b = 35.

W takim razie prosta BC ma równanie y = − 3x + 35 . Pozostało wyznaczyć punkt wspólny C tej prostej z daną prostą y = 2x + 3 .

{ y = − 3x + 35 y = 2x + 3

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

32 0 = 5x − 3 2 ⇒ x = 5--= 6,4.

Stąd

64- 79- y = 2x + 3 = 5 + 3 = 5 = 15,8

i ( ) C = 325 , 795 = (6 ,4; 15 ,8 ) .  
Odpowiedź: C = (32, 79) = (6,4; 15 ,8) 5 5

Wersja PDF