Zadanie nr 9384235

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (1;3) i B = (− 5;2 ) .

Rozwiązanie

Możemy zacząć od naszkicowania sobie o co chodzi.

Sposób I

Symetralna to zbiór punktów M = (x ,y) , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty spełniają więc równanie

AM 2 = BM 2 2 2 2 2 (x − 1) + (y− 3) = (x + 5) + (y − 2) x2 − 2x + 1 + y2 − 6y + 9 = x 2 + 1 0x+ 25+ y2 − 4y + 4 − 2y = 12x + 19 / : (− 2) 19- y = − 6x − 2 .

Sposób II

Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) 0 0

p(x − x ) + q(y − y ) = 0 . 0 0

W naszej sytuacji mamy

→ →v = AB = [− 5 − 1,2 − 3] = [− 6,− 1]

oraz P = ( 1−5, 3+-2) = (− 2, 5) 2 2 2 (środek odcinka ). Zatem szukana prosta ma równanie

( 5 ) − 6(x + 2) − y − -- = 0 2 5- − 6x − 12 − y + 2 = 0 19 y = − 6x− ---. 2

Sposób III

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (1,3 ) i (−5 ,2) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ 3 = a+ b 2 = − 5a+ b

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) mamy

1- 1 = 6a ⇒ a = 6.

Współczynnik nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy -6 (bo pomnożony przez 1 6 ma dawać -1). Zatem symetralna ta ma postać y = − 6x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka , czyli punktu P = (1−5-, 3+2) = (− 2, 5 ) 2 2 2 .