Zadanie nr 9549614

Wykaż, że dla dowolnych punktów płaszczyzny A ,B ,C ,D ,E ,F spełniona jest równość.

−→ −→ −→ −→ −→ −→ AB + CD + EF = AD + CF + EB .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Najpierw szkicowy rysunek.

Sposób I

Wprowadźmy na płaszczyźnie układ współrzędnych oraz niech

A = (xA ,yA), B = (xB ,yB), C = (xC ,yC), D = (xD ,yD), E = (xE,yE), F = (xF ,yF).

Wtedy

−→ − → −→ L = AB + CD + EF = = [xB − xA ,yB − yA ]+ [xD − xC ,yD − yC ]+ [xF − xE ,yF − yE] = = [xB + xD + xF − xA − xC − xE,yB + yD + yF − yA − yC − yE] − → −→ − → P = AD + CF + EB = = [xD − xA ,yD − yA]+ [xF − xC,yF − yC ]+ [xB − xE ,yB − yE] = = [xD + xF + xB − xA − xC − xE,yD + yF + yB − yA − yC − yE].

Zatem rzeczywiście L = P .

Sposób II

Używając notacji −→ XY = Y − X (możemy myśleć, że po lewej i prawej stronie są współrzędne), mamy

−→ −→ −→ L = AB + CD + EF = = B − A + D − C + F − E = (B + D + F)− (A + C + E) −→ −→ −→ P = AD + CF + EB = = D − A + F − C + B − E = (D + F + B)− (A + C + E).

Zatem rzeczywiście L = P . Zauważmy, że przy tym sposobie rozwiązania nie miało znaczenia, że dane punkty leżą na płaszczyźnie.

Sposób III

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii. Patrzymy na obrazek i zauważamy, że

−→ −→ −→ −→ −→ −→ AB + BE + EF + FC + CD + DA = 0 −→ −→ −→ −→ −→ − → AB + EF + CD = − BE − F C − DA −→ −→ −→ −→ − → −→ AB + EF + CD = EB + CF + AD .