Zadanie nr 9561751

Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A = (− 6,3),B = (− 2,− 5),C = (3,0) . Okrąg jest styczny do prostej , a jego środek jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta ABC . Okrąg przecina prostą w punkcie D ⁄= B . Oblicz iloraz |BD | : |DC | .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Sposób I

Aby znaleźć punkt wspólny dla wysokości trójkąta musimy najpierw napisać równania tych wysokości. Rozpocznijmy od wyznaczenia równań boków i trójkąta ABC .

Najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów i i mamy

{ 3 = − 6a+ b 0 = 3a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 9a = − 3 , czyli a = − 1 3 . Stąd b = − 3a = 1 i prosta ma równanie: 1 y = − 3x + 1 .

Szukamy teraz prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów i i mamy

{ −5 = − 2a+ b 0 = 3a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 5a = 5 , czyli a = 1 . Stąd b = − 3a = − 3 i prosta ma równanie: y = x − 3 .

Napiszemy teraz równania wysokości i – są to proste odpowiednio przechodzące przez i oraz prostopadłe do i .

Wysokość ma równanie postaci y = 3x + b (bo jest prostopadła do ). Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

− 5 = −6 + b ⇒ b = 1.

Zatem BH : y = 3x + 1 .

Wysokość ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

3 = 6+ b ⇒ b = − 3.

Zatem AH : y = −x − 3 . Wyznaczamy teraz punkt wspólny wysokości i .

{ y = −x − 3 y = 3x + 1 .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 0 = 4x + 4 , czyli x = − 1 . Stąd y = −x − 3 = − 2 i H = (− 1,− 2) .

Aby wyznaczyć promień okręgu obliczymy długość odcinka , gdzie jest punktem styczności okręgu i boku (czyli punktem wspólnym wysokości i boku ). Wyznaczamy najpierw współrzędne punktu .

{ y = 3x+ 1 y = − 1x + 1 3

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

1 3x + 3x = 0,

czyli x = 0 i y = 3x + 1 = 1 . Zatem E = (0,1) i

r2 = HE 2 = (0+ 1)2 + (1+ 2)2 = 10.

Okrąg ma więc równanie

2 2 (x + 1) + (y + 2) = 10.

Wyznaczmy teraz jego punkt wspólny z prostą . Podstawiamy y = x− 3 do równania okręgu

2 2 2 2 2 10 = (x + 1) + (x − 3 + 2) = x + 2x + 1+ x − 2x+ 1 = 2x + 2 / : 2 4 = x 2 ⇐ ⇒ x = ± 2.

Rozwiązanie x = − 2 prowadzi do punktu , więc x = 2 , y = x − 3 = − 1 i D = (2,− 1) . Pozostało obliczyć interesujący nas iloraz.

∘ -------2------------2 √ -------- √ ------ |BD-| = -∘(2-+-2)-+--(−-1+--5)--= -√16-+-1-6 = 8 + 8 = 4 . |DC | (3− 2)2 + (0+ 1)2 1 + 1

Sposób II

Równania wysokości trójkąta ABC można łatwo napisać korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W przypadku wysokości mamy

→ −→ v = BC = [3 + 2,0 + 5] = [5,5]

i P = A = (− 6,3) . Wysokość ma więc równanie

5(x + 6)+ 5(y − 3) = 0 / : 5 y = −x − 3.

W przypadku wysokości mamy

→v = −A→C = [3 + 6,0 − 3] = [9,− 3]

i P = B = (− 2,− 5) . Wysokość ma więc równanie

9(x + 2)− 3(y + 5) = 0 / : 3 3(x + 2)− (y+ 5) = 0 y = 3x + 1.

Wyznaczamy teraz punkt wspólny tych dwóch wysokości.

{ y = −x − 3 y = 3x + 1 .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 0 = 4x + 4 , czyli x = − 1 . Stąd y = −x − 3 = − 2 i H = (− 1,− 2) .

Wyznaczmy jeszcze równanie prostej . Jako prostopadła do ma ona równanie postaci 1 y = − 3x+ b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .