/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 9615314

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A = (2,0) i B = (12,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB . Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = x . Oblicz współrzędne punktu C .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Z obrazka widać, że będą dwa takie punkty C .

Sposób I

Skoro trójkąt ABC ma być prostokątny, to punkt C musi leżeć na okręgu o średnicy AB . Nie jest trudno napisać równanie tego okręgu. Jego środek to środek odcinka AB , czyli

( ) O = 2+--12, 0-+-0 = (7 ,0), 2 2

a promień jest równy

∘ --------------- AB-- --(12-−-2)2-+-02- r = 2 = 2 = 5.

Zatem okrąg o średnicy AB ma równanie

(x − 7 )2 + y 2 = 25.

Pozostało wyznaczyć jego punkty wspólne z prostą y = x – podstawiamy y = x w powyższym równaniu.

2 2 (x − 7) + x = 25 x2 − 14x + 49 + x 2 = 25 2 2x − 14x + 24 = 0 / : 2 x2 − 7x + 12 = 0 Δ = 49− 48 = 1 7 − 1 7+ 1 x = ------= 3 ∨ x = ------= 4 . 2 2

Zatem C = (3,3) lub C = (4,4) .

Sposób II

Szukamy takiego punktu C = (x,x) (bo ma leżeć na prostej y = x ), aby trójkąt ABC był prostokątny. Zapiszmy twierdzenie Pitagorasa.

AB 2 = AC 2 + BC 2 2 2 2 2 2 (12 − 2) = (x − 2) + x + (x − 1 2) + x 100 = x2 − 4x + 4 + x2 + x2 − 24x + 14 4+ x2 0 = 4x2 − 28x + 48 / : 4 2 0 = x − 7x+ 12.

Dalej liczmy jak w I sposobie.

Sposób III

Szukamy takiego punktu C = (x,x) , aby odcinki AC i BC były prostopadłe. Łatwo zapisać ten warunek używając iloczynu skalarnego.

−→ −→ AC ∘ BC = 0 [x − 2,x]∘ [x − 12,x] = 0 2 (x − 2)(x − 12 )+ x = 0 x2 − 14x + 2 4+ x2 = 0 / : 2 x2 − 7x + 12 = 0.

Dalej liczmy jak w I sposobie.  
Odpowiedź: C = (3,3) lub C = (4,4)

Wersja PDF