/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 9621371

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Boki AB i CA trójkąta ABC są zawarte w prostych y = 7x − 13 i y = − 12x + 2 , a jego dwa wierzchołki mają współrzędne B = (1,− 6) i C = (10,− 3) . Oblicz współrzędne spodka wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok BC .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Wyznaczamy najpierw współrzędne wierzchołka A trójkąta – jest to punkt wspólny podanych prostych AB i CA .

{ y = − 12x + 2 y = 7x − 13.

Porównujemy y -ki i mamy

1 − -x + 2 = 7x − 13 / ⋅2 2 − x + 4 = 14x − 26 30 = 15x ⇒ x = 2.

Stąd y = 7x − 1 3 = 1 i A = (2,1) .

Wyznaczamy teraz równanie prostej BC . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów B i C .

{ − 6 = a + b − 3 = 10a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 3 = 9a , czyli 1 a = 3 . Stąd b = − 6− a = − 19 3 i prosta BC ma równanie y = 1x − 19 3 3 .

Prosta zawierająca wysokość opuszczoną z wierzchołka A jest prostopadła do prostej BC , więc ma równanie postaci y = − 3x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A .

1 = −6 + b ⇒ b = 7.

Wysokość AD ma więc równanie y = − 3x + 7 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego D z prostą BC .

{ y = 1x − 19 3 3 y = − 3x+ 7.

Porównujemy y -ki i mamy

1x − 19-= − 3x + 7 / ⋅3 3 3 x − 19 = − 9x + 2 1 10x = 40 ⇒ x = 4 .

Stąd y = − 3x + 7 = − 5 i D = (4,− 5) .  
Odpowiedź: (4,− 5)

Wersja PDF