Zadanie nr 9702276

Dana jest parabola o równaniu 2 y = −x + 9 . Na tej paraboli leży punkt o dodatnich współrzędnych. Wyznacz współrzędne tego punktu tak, by styczna do paraboli w punkcie ograniczała wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o najmniejszym polu.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Niech P = (a ,−a 2 + 9) będzie punktem danej paraboli o współrzędnych dodatnich, tzn. a > 0 i

−a 2 + 9 > 0 ⇐ ⇒ a ∈ (− 3,3 ).

Liczymy pochodną danej funkcji kwadratowej.

f′(x) = − 2x

Styczna do paraboli w punkcie ma więc równanie

y = − 2a ⋅(x − a) + (−a 2 + 9) = − 2ax + (a2 + 9).

Wyznaczmy teraz punkty wspólne tej prostej z osiami układu współrzędnych. Punkt wspólny z osią to 2 A = (0,a + 9) . Ponadto,

2 0 = − 2ax + a2 + 9 ⇐ ⇒ x = a--+-9 , 2a

więc punkt przecięcia stycznej z osią to

( a2 + 9 ) B = ------,0 2a

Pole trójkąta prostokątnego AOB jest równe

2 4 2 ( ) P = 1⋅ a-+--9⋅ (a2 + 9 ) = 1-⋅ a-+-18a-+-81-= 1- a3 + 1 8a+ 81- . AOB 2 2a 4 a 4 a

Przypomnijmy, że dziedziną tej funkcji jest przedział (0,3) . Liczymy pochodną.

( ) 4 2 P ′(a) = 1- 3a2 + 18 − 81- = 3-⋅ a-+-6a--−-27- 4 a2 4 a2

W liczniku mamy równanie dwukwadratowe – podstawiamy t = a2 .

t2 + 6t− 2 7 = 0 2 Δ = 36 + 108 = 144 = 12 −-6-−-12- −-6-+-12- t = 2 = − 9 lub t = 2 = 3

Pochodna funkcji jest więc równa

2 2 2 √ -- √ -- P ′(a) = 3-⋅ (a-+-9)(a--−-3) = 3⋅ (a-+--9)(a−----3)(a+----3). 4 a2 4 a2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale √ -- (0, 3 ) i dodatnia w przedziale (√ 3-,3) . To oznacza, że funkcja jest malejąca (0 ,√ 3⟩ i rosnąca √ -- ⟨ 3,3 ) . To oznacza, że najmniejszą wartość pola trójkąta AOB otrzymamy dla √ -- a = 3 . Mamy wtedy