Zadanie nr 9708243

Do okręgów o równaniach 2 2 29 x + 7x + y + 5y+ 2 = 0 i 2 2 13- x − x + y − 3y − 2 = 0 poprowadzono wspólną styczną. Oblicz długość odcinka łączącego punkty styczności. Rozważ wszystkie możliwości.

Rozwiązanie

Aby narysować opisaną sytuację przekształcamy podane równania okręgu tak, aby było widać jakie mają środki i promienie. Pierwszy okrąg

x2 + 7x + y2 + 5y + 2-9 = 0 2 ( 7 )2 49 ( 5) 2 25 29 x + -- − ---+ y + -- − ---+ ---= 0 2 4 2 4 2 ( 7 )2 ( 5) 2 x + -- + y+ -- = 4. 2 2

Jest to więc okrąg o środku ( 7 5) A = − 2,− 2 i promieniu 2.
Teraz drugi okrąg

x2 − x + y2 − 3y − 1-3 = 0 2 ( 1 ) 2 1 ( 3) 2 9 13 x − -- − --+ y − -- − --− ---= 0 2 4 2 4 2 ( 1 ) 2 ( 3 )2 x − -- + y − -- = 9 . 2 2

Jest to więc okrąg o środku (1 3) B = 2, 2 i promieniu 3. Szkicujemy teraz obrazek.

Z rysunku widać, że są dwa rodzaje stycznych. Zajmiemy każdą z tych dwóch możliwych sytuacji z osobna.

Jeżeli okręgi leżą po jednej stronie stycznej (sytuacja z lewego rysunku) to odległość ′ ′ A B = AC możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego ABC . Aby móc to zrobić obliczmy najpierw odległość między środkami okręgów.

∘ (-------)----(-------)-- 1 7 2 3 5 2 √ -------- √ -- |AB | = --+ -- + --+ -- = 16 + 16 = 4 2. 2 2 2 2

Obliczamy teraz długość odcinka ′ ′ A B .

′ ′ ∘ ---2------2- √ ------- √ --- A B = AC = AB − BC = 32 − 1 = 31.

Zajmijmy się teraz drugą sytuacją, gdy okręgi leżą po dwóch różnych stronach stycznej.

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty ′ AA C i ′ BB C są prostokątne i mają kąt wspólny przy wierzchołku . Są więc podobne i mamy ABCC-= 23 . To pozwala nam obliczyć długości odcinków i . Wiemy już, że √ -- AB = 4 2 , więc

2 8 √ -- AC = --AB = -- 2 5 5 √ -- CB = 3AB = 12- 2. 5 5

Teraz możemy już łatwo obliczyć długości odcinków A ′C i CB ′ .

∘ --------------- ∘ -------- ∘ --- A ′C = AC 2 − (AA ′)2 = 128-− 4 = 28-= 2-√ 7- 2 5 25 5 ∘ -------------- ∘ -------- ∘ --- √ -- CB ′ = CB 2 − (BB ′)2 = 288-− 9 = 63-= 3- 7. 25 25 5

W takim razie

2 √ -- 3√ -- √ -- A′B ′ = A ′C + CB ′ =-- 7+ -- 7 = 7. 5 5

Sposób II

Tym razem na prawym rysunku prowadzimy przez punkt prostą równoległą do stycznej oraz zaznaczamy jej punkt wspólny z prostą ′ BB . Otrzymujemy w ten sposób trójkąt prostokątny ADB , w którym