/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 9767968

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Określ wzajemne położenie okręgów: 2 2 (x + 5 ) + (y − 3) = 1 6 i (x + 6)2 + (y − 3)2 = 9 .

Rozwiązanie

Możemy sobie dokładnie narysować podane okręgi (cyrklem) i sprawdzić jakie jest ich wzajemne położenie.

PIC

Czasami jednak trudno jest z rysunku ustalić dokładne położenie i dlatego skupimy się na metodach rachunkowych.

Sposób I

Najwygodniej jest skorzystać z następującej charakteryzacji wzajemnego położenia dwóch okręgów o środkach S1,S2 i promieniach R 1 > R 2 .

  • Jeżeli |S 1S2| > R 1 + R 2 lub |S1S 2| < R 1 − R2 to okręgi są rozłączne (nie przecinają się)
  • Jeżeli |S1S2| = R 1 + R2 lub |S1S2| = R 1 − R2 to okręgi są styczne (przecinają się w jednym punkcie)
  • Jeżeli R − R < |S S | < R + R 1 2 1 2 1 2 to okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Jeżeli promienie okręgów są równe, to jest jeden dodatkowy wyjątek: jeżeli |S1S 2| = 0 to okręgi pokrywają się.

Pierwszy okrąg ma środek S 1 = (− 5,3) i promień 4, a drugi ma środek S 2 = (− 6,3) i promień 3. Mamy więc

∘ ------- |S 1S2| = 12 + 02 = 1 |S 1S2| = 4− 3 = 1.

Zatem okręgi są styczne wewnętrznie.

Sposób II

Zadanie można też rozwiązać czysto algebraicznie. Wprawdzie jest to bardziej skomplikowane rachunkowo, ale za to dokładnie wyliczymy ewentualne punkty wspólne danych okręgów.

Musimy sprawdzić ile rozwiązań ma układ równań

{ 2 2 (x+ 5) + (y− 3) = 16 (x+ 6)2 + (y− 3)2 = 9.
{ x2 + 10x + y2 − 6y = − 18 2 2 x + 12x + y − 6y = − 36 .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić kwadraty) i mamy

2x = −1 8 ⇒ x = − 9.

Podstawiamy tę wartość do pierwszego z równań.

2 2 (−9 + 5 ) + (y − 3) = 1 6 16+ (y− 3)2 = 16 ⇒ y = 3.

Skoro układ ma jedno rozwiązanie, to okręgi są styczne.  
Odpowiedź: Okręgi są styczne

Wersja PDF