/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 9849811

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A = (2,5) i C = (6,7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Wyznacz równanie prostej BD .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku

PIC

Z obrazka widzimy, że musimy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej AC i przechodzącej przez środek odcinka AC , czyli przez punkt

( ) 2-+-6-5-+-7- S = 2 , 2 = (4,6).

Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Zacznijmy od napisania równania prostej AC . Szukamy prostej postaci y = ax+ b . Podstawiając współrzędne punktów A i C otrzymujemy układ równań.

{ 5 = 2a+ b 7 = 6a+ b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić b ) mamy

2 = 4a ⇒ a = 1. 2

I dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam jest tylko współczynnik kierunkowy. Zatem prosta BD , jako prostopadła do AC musi mieć współczynnik kierunkowy -2, czyli jest postaci y = − 2x + b dla pewnego b . Współczynnik b wyliczamy podstawiając współrzędne punktu S = (4,6) .

6 = − 2 ⋅4 + b ⇒ b = 6+ 8 = 14.

Zatem szukana prosta ma równanie y = − 2x + 14 .

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru

p(x − a )+ q(y − b ) = 0

na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p ,q] i przechodzącej przez punkt S = (a ,b ) . W naszej sytuacji mamy

→ → v = AC = [6 − 2,7 − 5] = [4,2],

oraz S = (4,6 ) , czyli równanie prostej BD ma postać:

4(x − 4)+ 2(y − 6) = 0 / : 2 2x − 8 + y − 6 = 0 y = − 2x + 14 .

 
Odpowiedź: y = −2x + 14

Wersja PDF