Zadanie nr 9858751

Możemy zacząć od rysunku.

Rysunek sugeruje, że prosta jest równoległa do podanej prostej . Jeżeli uda nam się to pokazać, to będzie jasne, że pole trójkąta nie będzie zależeć od położenia punkty . Pole to będzie równe

gdzie jest odległością między tymi prostymi. Od razu obliczmy

Teraz sprawdzimy, że podana prosta i prosta są rzeczywiście równoległe.

Napiszmy równanie prostej . Szukamy prostej postaci . Wstawiając współrzędne punktów i otrzymujemy układ równań.

Dodając do drugiego równania pierwsze pomnożone przez 2 (żeby skrócić ), mamy

Zatem i prosta ta ma równanie . Rzeczywiście jest więc ona równoległa do prostej zawierającej wierzchołek (mają ten sam współczynnik kierunkowy). Policzmy jeszcze odległość między tymi prostymi. Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej :

Stosujemy go dla punktu i danej prostej .

Zatem pole jest równe

Zamiast wyznaczać równanie prostej , mogliśmy tylko sprawdzić czy odległość punktów i od danej prostej jest taka sama. Liczymy

Odległości te są równe, więc proste są równoległe. Pole liczymy jak poprzednio.

Możemy też skorzystać z gotowego wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach , i .

W naszej sytuacji i mamy

Widać, że liczba ta nie zależy od , czyli pole nie zależy od wyboru punktu .  
Odpowiedź: