/Szkoła średnia/Nierówności/Z pierwiastkami

Zadanie nr 1569036

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność √3--------2------------3- 1 √ ------2------- 8 + 54x − 36x − 27x < 2 − 9+ 4x + 12x .

Rozwiązanie

Zauważmy, że

2 3 2 3 8 + 54x − 36x − 27x = 8− 36x + 54x − 27x = = 23 − 3⋅22 ⋅3x + 3 ⋅2 ⋅(3x)2 − (3x)3 = (2 − 3x )3 9+ 4x2 + 12x = 9+ 12x + 4x2 = (3 + 2x )2.

To oznacza, że

∘ ----------------------- ∘ ---------- 3 8 + 54x2 − 36x − 27x3 = 3 (2− 3x)3 = 2 − 3x ∘ -------------- ∘ ---------- 9 + 4x 2 + 1 2x = (3+ 2x )2 = |3+ 2x|.

Musimy więc rozwiązać nierówność

2 − 3x < 1-− |3+ 2x| | | 2 | 3| 3 2 ||x+ -|| − 3x < − -. 2 2

Rozważamy teraz dwa przypadki.

Jeżeli 3 x ≥ − 2 , to mamy nierówność

2x + 3 − 3x < − 3- 2 9- 2 < x.

Rozwiązaniem w tym przypadku jest więc przedział ( ) 9,+ ∞ 2 .

Jeżeli 3 x < − 2 , to mamy nierówność

3 − (2x + 3) − 3x < − -- 2 − 3-< 5x / : 5 2 -3- − 10 < x.

To oznacza, że nierówność jest sprzeczna w tym przypadku.  
Odpowiedź: (9,+ ∞ ) 2

Wersja PDF