/Szkoła średnia/Nierówności/Z pierwiastkami

Zadanie nr 2753477

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność √ --2--------- √ -2---------- x + 6x + 9 > 7,5− x − 4x + 4 .

Rozwiązanie

Łatwo zauważyć, że pod każdym z pierwiastków mamy pełen kwadrat, więc nierówność możemy zapisać w postaci

∘ ------------ ∘ ------------ x2 + 6x + 9 > 7,5− x2 − 4x + 4 ∘ --------- ∘ --------- (x + 3)2 > 7,5− (x − 2)2 |x + 3 | > 7,5− |x − 2|.

Otrzymaną nierówność rozwiążemy dwoma sposobami.

Sposób I

Aby opuścić wartości bezwzględne rozważamy trzy przypadki.

Jeżeli x ≥ 2 to mamy nierówność

x+ 3 > 7,5 − (x − 2) 2x > 7,5 − 1 = 6,5 / : 2 x > 3,25.

Zatem w tym przypadku rozwiązaniem jest przedział (3,25; + ∞ ) .

Jeżeli x ∈ [−3 ,2) to mamy nierówność

x + 3 > 7,5+ (x− 2) 3 > 5,5

która jest zawsze sprzeczna. W tym przypadku nie ma więc rozwiązań.

Jeżeli wreszcie x < − 3 to mamy nierówność

− (x + 3) > 7 ,5+ (x− 2) − 1 − 7,5 > 2x / : 2 − 4,25 > x .

W tym przypadku rozwiązaniem jest więc przedział (− ∞ ; − 4,25) .

Łącząc otrzymane rozwiązania otrzymujemy zbiór rozwiązań:

(− ∞ ; − 4,25) ∪ (3,25; + ∞ ).

Sposób II

Zapiszmy nierówność w postaci

|x − (− 3)|+ |x− 2| > 7,5.

Szukamy zatem liczb (na osi), których suma odległości od − 3 i 2 jest większa od 7,5. Naszkicujmy tę sytuację.

ZINFO-FIGURE

Zauważmy teraz, że jeżeli x ∈ [− 3,2] to suma odległości od − 3 i 2 jest stała i równa 5 < 7,5 . Jeżeli natomiast x jest poza tym przedziałem to suma ta jest tym większa im x jest dalej od końców przedziału. Ponadto łatwo zauważyć, że dla

x = − 3 − 7,5-−-5-= − 3− 1,25 = − 4,25 2

i

x = 2+ 7,5-−-5-= 2+ 1,25 = 3,25 2

interesująca nas suma odległości jest równa dokładnie 7,5. Rozwiązaniem nierówności jest więc zbiór

(− ∞ ; − 4,25) ∪ (3,25; + ∞ ).

 
Odpowiedź: (− ∞ ; − 4,25) ∪ (3,25; + ∞ )

Wersja PDF