Zadanie nr 2753477
Rozwiąż nierówność .
Rozwiązanie
Łatwo zauważyć, że pod każdym z pierwiastków mamy pełen kwadrat, więc nierówność możemy zapisać w postaci
![∘ ------------ ∘ ------------ x2 + 6x + 9 > 7,5− x2 − 4x + 4 ∘ --------- ∘ --------- (x + 3)2 > 7,5− (x − 2)2 |x + 3 | > 7,5− |x − 2|.](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR0x.png)
Otrzymaną nierówność rozwiążemy dwoma sposobami.
Sposób I
Aby opuścić wartości bezwzględne rozważamy trzy przypadki.
Jeżeli to mamy nierówność
![x+ 3 > 7,5 − (x − 2) 2x > 7,5 − 1 = 6,5 / : 2 x > 3,25.](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR2x.png)
Zatem w tym przypadku rozwiązaniem jest przedział .
Jeżeli to mamy nierówność
![x + 3 > 7,5+ (x− 2) 3 > 5,5](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR5x.png)
która jest zawsze sprzeczna. W tym przypadku nie ma więc rozwiązań.
Jeżeli wreszcie to mamy nierówność
![− (x + 3) > 7 ,5+ (x− 2) − 1 − 7,5 > 2x / : 2 − 4,25 > x .](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR7x.png)
W tym przypadku rozwiązaniem jest więc przedział .
Łącząc otrzymane rozwiązania otrzymujemy zbiór rozwiązań:
![(− ∞ ; − 4,25) ∪ (3,25; + ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR9x.png)
Sposób II
Zapiszmy nierówność w postaci
![|x − (− 3)|+ |x− 2| > 7,5.](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR10x.png)
Szukamy zatem liczb (na osi), których suma odległości od i 2 jest większa od 7,5. Naszkicujmy tę sytuację.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR12x.png)
Zauważmy teraz, że jeżeli to suma odległości od
i 2 jest stała i równa
. Jeżeli natomiast
jest poza tym przedziałem to suma ta jest tym większa im
jest dalej od końców przedziału. Ponadto łatwo zauważyć, że dla
![x = − 3 − 7,5-−-5-= − 3− 1,25 = − 4,25 2](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR18x.png)
i
![x = 2+ 7,5-−-5-= 2+ 1,25 = 3,25 2](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR19x.png)
interesująca nas suma odległości jest równa dokładnie 7,5. Rozwiązaniem nierówności jest więc zbiór
![(− ∞ ; − 4,25) ∪ (3,25; + ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/2753477/HzadR20x.png)
Odpowiedź: