/Szkoła średnia/Nierówności/Z pierwiastkami

Zadanie nr 4794826

Rozwiąż nierówność √ --2--------- 25 √ -2---------- x + 4x + 4 < 3 − x − 6x + 9 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Łatwo zauważyć, że pod każdym z pierwiastków mamy pełen kwadrat, więc nierówność możemy zapisać w postaci

∘ ------------ ∘ ------------ x 2 + 4x + 4 < 25-− x2 − 6x + 9 ∘ --------- 3 ∘ --------- 2 25- 2 (x + 2) < 3 − (x− 3) 25 |x+ 2| < ---− |x − 3|. 3

Otrzymaną nierówność rozwiążemy dwoma sposobami.

Sposób I

Aby opuścić wartości bezwzględne rozważamy trzy przypadki.

Jeżeli x ≥ 3 to mamy nierówność

25- x + 2 < 3 − (x − 3) 25 28 2x < ---+ 1 = --- / : 2 3 3 14- x < 3 .

Zatem w tym przypadku rozwiązaniem jest przedział [ ) 3, 143- .

Jeżeli x ∈ [−2 ,3) to mamy nierówność

25 x + 2 < ---+ (x − 3 ) 3 5 < 25-, 3

która jest zawsze spełniona. W tym przypadku rozwiązaniem jest więc przedział [− 2,3)

Jeżeli wreszcie x < − 2 to mamy nierówność

25- − (x + 2 ) < 3 + (x − 3) 25 1− ---< 2x / : 2 3 − 11-< x. 3

W tym przypadku rozwiązaniem jest więc przedział ( ) − 113 ,− 2 .

Łącząc otrzymane rozwiązania otrzymujemy zbiór rozwiązań:

( ) [ ) ( ) 11- 14- 11- 14- − 3 ,− 2 ∪ [− 2,3 )∪ 3, 3 = − 3 , 3 .

Sposób II

Zapiszmy nierówność w postaci

25 |x − (−2 )|+ |x− 3| < ---. 3

Szukamy zatem liczb (na osi), których suma odległości od − 2 i 3 jest mniejsza od 25 3 . Naszkicujmy tę sytuację.

PIC

Zauważmy teraz, że jeżeli x ∈ [− 2,3] to suma odległości od − 2 i 3 jest stała i równa 5 < 25 3 . Jeżeli natomiast x jest poza tym przedziałem to suma ta jest tym większa im x jest dalej od końców przedziału. Ponadto łatwo zauważyć, że dla

25 x = − 2− 3-−--5-= − 2 − 5-= − 11- 2 3 3

i

25 3-−--5- 5- 14- x = 3+ 2 = 3 + 3 = 3

interesująca nas suma odległości jest równa dokładnie 253 . Rozwiązaniem nierówności jest więc zbiór

( ) 1-1 14- − 3 , 3 .

 
Odpowiedź: ( 11 14) − 3 , 3

Wersja PDF