/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/W geometrii

Zadanie nr 4841902

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Długości boków prostokąta i długość jego przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz długości jego boków, jeśli pole prostokąta jest równe 48.

Rozwiązanie

Przekątna prostokąta jest zawsze dłuższa od każdego z boków, wiec jest to największy wyraz ciągu.

PIC

Oznaczmy jej długość przez d , a długości boków przez a < b . Mamy wtedy warunki

{ 2b = a + d 2 2 2 a + b = d

Wstawmy d = 2b − a do drugiego równania

2 2 2 2 2 a + b = (2b− a) = 4b − 4ab + a 0 = 3b2 − 4ab / : b 0 = 3b − 4a ⇒ 4a = 3b.

Wiemy dodatkowo, że ab = 48 . Podstawiamy w tej równości a = 34b .

3b2 = 48 ⇒ b2 = 64 ⇒ b = 8. 4

Daje to nam 3 a = 4b = 6 .  
Odpowiedź: 6 i 8

Wersja PDF