Zadanie nr 5369555

Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa . Największy kąt ma miarę 172∘ .

Rozwiązanie

Jeżeli wielokąt ma boków, to suma jego kątów wynosi (bo przekątne wychodzące z jednego wierzchołka dzielą go na trójkątów). Mamy zatem ciąg arytmetyczny o różnicy 4, ostatnim wyrazie i sumie . Ponieważ , to
$a1 = an − (n− 1)r = 172 − (n − 1) ⋅4.$

Korzystamy teraz ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego

$(n − 2) ⋅180 = a1 +-an-⋅n = 1-72−--(n−--1)⋅4-+-1-72 ⋅n 2 2 (n − 2) ⋅180 = (172− (n − 1)⋅ 2)n (n − 2) ⋅180 = (174− 2n)n (n − 2) ⋅90 = (8 7− n )n 2 90n − 180 = 87n − n n2 + 3n − 1 80 = 0.$

Liczymy dalej

$2 Δ = 9+ 180⋅ 4 = 9(1 + 20 ⋅4) = 9 ⋅81 = (2 7) .$

Stąd dodatni pierwiastek to .
Odpowiedź: 12 boków
Każda przekątna wielokąta jest wyznaczona przez dwa wierzchołki, więc w pierwszej chwili może się wydawać, że wielokąt o bokach ma przekątnych. To jest prawie dobrze, trzeba tylko odjąć boków, których nie uważamy za przekątne. Przekątnych jest zatem
$( 12) 12⋅ 11 − 12 = -------− 12 = 66 − 1 2 = 54. 2 2$

Odpowiedź: 54 przekątne