Dany jest ciąg geometryczny (a_n) o pierwszym wyrazie równym... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Na dowodzenie, 2080595

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 2080595

Dany jest ciąg geometryczny $(an)$ o pierwszym wyrazie równym $2$ , i ilorazie równym 10. Wykaż, że wszystkie punkty o współrzędnych $(2n ,lo gan)$ leżą na jednej prostej.

Rozwiązanie

Wyraz ogólny podanego ciągu to $n−1 an = 2⋅10$ . Stąd intersujące nas punkty mają współrzędne

(2n,log(2 ⋅10n −1)) = (2n,log 2 + log 10n−1) = (2n ,(n− 1)+ lo g2).

Sposób I

Najprostszy sposób wykazania, że punkty te istotnie leżą na jednej prostej, to napisanie równania prostej, do której te punkty należą. Jeżeli oznaczymy $x = 2n$ i $y = (n − 1)+ log 2$ , to

1 y = (n − 1)+ lo g2 = n+ lo g2 − 1 = -x + log 2− 1. 2

Otrzymana prosta przechodzi przez wyszystkie wyrazy ciągu $(a ) n$ .

Sposób II

Inny sposób wykazania, że punkty $A = (2n,(n − 1) + log 2) n$ leżą na jednej prostej, to wykazanie, że wektory $−→ AnAn + 1$ i $−→ An +1An +2$ są równoległe dla $n ≥ 1$ . Liczymy