Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Szereg geometryczny

Agitacja Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego łatwo wyprowadzić wzór

1-+ 1-+ 1-+ 1--+ ⋅⋅⋅+ 1--= 1− 1-. 2 4 8 16 2n 2n

Oczywiście liczba 12n dla dużych n jest mikroskopijnie mała, więc można powiedzieć, że powyższa suma „zbliża” się do 1 dowolnie blisko. Mówiąc dokładniej, jeżeli będziemy zwiększać n to suma będzie coraz mniej różnić się od 1. Zupełnie formalnie takie rzeczy zapisuje się za pomocą granic, ale na użytek szkolny używa się zapisu

1 1 1 1 --+ --+ --+ ---+ ⋅ ⋅⋅ = 1. 2 4 8 16

Celowo z lewej strony nie napisaliśmy ostatniego składnika sumy, bo zapis ten ma sugerować, że dodajemy do siebie wszystkie wyrazy ciągu (a więc dodajemy do siebie nieskończenie wiele liczb). Sens tego dodawania, jak i wyniku z prawej strony wyjaśniliśmy wyżej: dodając do siebie liczby z lewej strony zbliżamy się do 1, im więcej liczb do siebie dodamy, tym bliżej znajdziemy się 1.

Od razu zauważmy, że dodawanie do siebie nieskończenie wielu liczb nie zawsze ma sens.

Suma

1+ 1+ 1+ 1 + ⋅⋅ ⋅

nie dąży do żadnej liczby – dodając jedynki z lewej strony możemy otrzymać dowolnie dużą liczbę. Symbolicznie zapisujemy to wzorem

1+ 1+ 1+ 1+ ⋅⋅⋅ = + ∞ .

Jeszcze gorzej jest z sumą

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1+ ⋅⋅⋅.

Dodając po kolei składniki z lewej strony na przemian mamy 1 i 0. Trudno w takiej sytuacji sensownie zdefiniować wynik takiego dodawania.

Definicje Opisaną wyżej operację dodawania do siebie nieskończenie wielu liczb nazywa się w matematyce szeregiem liczbowym. Jeżeli dodatkowo liczby, które do siebie dodajemy są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to mówimy o szeregu geometrycznym.

Ze wzoru na n -ty wyraz ciągu geometrycznego wiemy, że każdy szereg geometryczny ma postać

 2 3 n a + aq + aq + aq + ⋅⋅⋅+ aq + ⋅⋅⋅

Mówimy, że szereg jest zbieżny jeżeli jego suma jest liczbą (w takim samym sensie jak w pierwszym przykładzie tego poradnika). Jeżeli szereg nie jest zbieżny to mówimy, że jest on rozbieżny.

Szereg geometryczny

1- 1- 1- 1-- 2 + 4 + 8 + 16 + ⋅⋅⋅

jest zbieżny do liczby 1.

Szeregi geometryczne

1 + 1 + 1 + 1 + ⋅⋅⋅ 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋅⋅⋅

są rozbieżne.

Wzór Widzieliśmy wyżej, że niektóre szeregi geometryczne są zbieżne (czyli ich suma ma sens), a inne nie. Okazuje się, że jest bardzo prosta charakteryzacja, kiedy szereg geometryczny jest zbieżny.

Niezerowy szereg geometryczny

 2 3 a1 + a1q + a1q + a1q + ⋅⋅⋅

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1 .

Co więcej, mamy bardzo prosty wzór na sumę szeregu

 a1 S = ------. 1 − q

Na mocy powyższego wzoru mamy

 4 4 4-+ 4+ -4-+ ⋅⋅ ⋅ = --3---= 3-= 2. 3 9 27 1− 13 23

Szereg geometryczny

 4 16 64 256 1 − -+ ---− ---+ ----+ ⋅⋅⋅ 3 9 27 81

jest rozbieżny, bo  | | |q | = |− 4| = 4> 1 | 3| 3 .

W kwadrat o boku 1 wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Obliczmy sumę pól wszystkich tych kwadratów.
PIC Jeżeli oznaczmy bok jednego z kwadratów przez x , to okrąg wpisany w ten kwadrat ma średnicę x . Jednocześnie jest to przekątna kolejnego kwadratu, czyli jego bok ma długość √x- 2 . Zatem pole kolejnego kwadratu jest dwa razy mniejsze od pola poprzedniego kwadratu. Pierwszy kwadrat ma pole 1, więc szukana suma jest równa

1+ 1-+ 1-+ ⋅⋅⋅ = --1---= 1-= 2 . 2 4 1− 12 12

Równania i nierówności Popularny motyw zadań szkolnych to równania i nierówności, w których jedna ze stron jest sumą szeregu geometrycznego. W tego typu zadaniach mamy do wykonania trzy czynności.

  • Po pierwsze wyznaczamy dziedzinę danego równania/nierówności. Oprócz standardowych mianowników, pierwiastków, logarytmów etc., sprawdzamy kiedy dany szereg geometryczny jest zbieżny – sprowadza się to do rozwiązania nierówności |q | < 1 .
  • Zastępujemy dany szereg geometryczny jego sumą, zgodnie ze wzorem  -a1- S = 1−q .
  • Rozwiązujemy otrzymane równanie/nierówność (w którym nie ma już żadnych kropek) i odrzucamy rozwiązania, które nie są zawarte w wyznaczonej wcześniej dziedzinie.

Rozwiążmy równanie:  2 3 3 (1− x)+ (1− x ) + (1 − x ) + ⋅⋅ ⋅ = 2 − x .
Z lewej strony równania mamy szereg geometryczny o ilorazie q = 1− x , sprawdźmy kiedy jest on zbieżny

 |1 − x | < 1 − 1 < 1 − x < 1 / − 1 − 2 < − x < 0 / ⋅(− 1) 2 >x > 0.

Teraz rozwiązujemy równanie

 1− x 3 ------------= -− x / ⋅2x 1− (1− x) 2 2− 2x = 3x − 2x 2 2x2 − 5x + 2 = 0 Δ = 2 5− 1 6 = 9 5-−-3- 1- 5-+-3- x = 4 = 2 ∨ x = 4 = 2.

Drugie rozwiązanie odrzucamy, bo nie należy do dziedziny równania.

Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.