/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 6541150

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że w ciągu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich iloczyn k > 1 początkowych wyrazów ciągu jest równy ∘ --------- (a1 ⋅ak)k .

Rozwiązanie

Liczymy

2 k−1 a1a2a 3⋅⋅⋅ak = a1 ⋅a1q ⋅a1q ⋅⋅⋅ a1q = k 1+ 2+3+ ⋅⋅⋅+ (k− 1) k 1+-(k2−1)⋅(k− 1) = a 1q = a 1q ∘ -----=---- k k(k−1)- ( 2k k(k− 1)) 12 ( 2 )k = a 1q 2 = a1 q = a1qk−1 = ∘ (----------)-- ∘ --------- = a1 ⋅ a1qk−1 k = (a 1 ⋅ak)k.

Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF