Wyrazy ciągu geometrycznego (a_n), w którym a_n≠ 0 dla... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Na dowodzenie, 7624044

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 7624044

Wyrazy ciągu geometrycznego $(an)$ , w którym $an ⁄= 0$ dla $n ≥ 1$ spełniają warunek

an+ 2 = 2an+1 + 4an dla n ≥ 1.

Wykaż, że wyrazy tego ciągu spełniają również warunek

an+ 3 = 4an+2 − 8an dla n ≥ 1.

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro $(an)$ jest ciągiem geometrycznym to $n− 1 an = a1q$ , gdzie $q$ jest jest ilorazem ciągu. Dany warunek przybiera więc postać

an+2 = 2an+1 + 4an a qn+1 = 2a qn + 4a qn− 1. 1 1 1

Zauważmy teraz, że z założenia $a1 ⁄= 0$ i $q ⁄= 0$ , więc możemy podzielić powyższą równość stronami przez $n−1 a1q$ .

2 q = 2q + 4 q2 − 2q− 4 = 0 Δ = 4+ 16 =-20 -- 2 − 2√ 5 √ -- 2+ 2√ 5 √ -- q1 = ---------= 1 − 5 ∨ q2 = ---------= 1 + 5 . 2 2

Podobnie przekształćmy teraz warunek, który mamy wykazać.

a = 4a − 8an n+3 n+2 a1qn+ 2 = 4a1qn+1 − 8a1qn− 1 / : a 1qn−1 3 2 q = 4q − 8 q3 − 4q2 + 8 = 0.

Wystarczy teraz sprawdzić, że obliczone wcześniej wartości $q1$ i $q2$ spełniają ten warunek. Sprawdzamy najpierw $√ -- q1 = 1 − 5$ .

3 2 √ -- 3 √ --2 q1 − 4q1 +√8-= (1 − 5 )√ −-4(1 − 5√)-+ 8 = = 1 − 3 ⋅ 5 + 3 ⋅5− 5 5 − 4(1 − 2 5 + 5) + 8 = √ -- √ -- = 1 6− 8 5− 24+ 8 5+ 8 = 0.

Tak samo sprawdzamy $q2$ .

√ -- √ -- q31 − 4q21 + 8 = (1 + 5 )3 − 4(1 + 5 )2 + 8 = √ -- √ -- √ -- = 1 + 3 ⋅ 5 + 3 ⋅5+ 5 5 − 4(1 + 2 5 + 5) + 8 = √ -- √ -- = 1 6+ 8 5− 24− 8 5+ 8 = 0.

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie sprawdzamy, że dany warunek jest równoważny równości

q2 − 2q − 4 = 0,

a warunek, który mamy wykazać równości

3 2 q − 4q + 8 = 0.

Wystarczy teraz wykazać, że wielomian $3 2 P(q) = q − 4q + 8$ dzieli się przez trójmian $W (q) = q2 − 2q− 4$ (bo wtedy każdy pierwiastek $W (q)$ jest też pierwiastkiem $P (q)$ ). Dzielimy $P(q)$ przez $W (q)$ – my zrobimy to grupując wyrazy.

P (q) = q3 − 4q2 + 8 = (q3 − 2q2 − 4q) − (2q2 − 4q − 8) = 2 2 = q(q − 2q − 4) − 2(q − 2q − 4) = 2 = (q− 2)(q − 2q − 4) = (q − 2)W (q ).

Sposób III

Jeżeli zamienimy w danym warunku $n$ na $n + 1$ otrzymamy

an+3 = 2an +2 + 4a . n+ 1

Teraz w tym warunku chcemy się pozbyć $a n+ 1$ . Możemy to zrobić korzystając z danego warunku zapisanego w postaci $2an +1 = an+ 2 − 4an$ . Mamy zatem