Zadanie nr 7624044
Wyrazy ciągu geometrycznego , w którym
dla
spełniają warunek

Wykaż, że wyrazy tego ciągu spełniają również warunek

Rozwiązanie
Sposób I
Skoro jest ciągiem geometrycznym to
, gdzie
jest jest ilorazem ciągu. Dany warunek przybiera więc postać

Zauważmy teraz, że z założenia i
, więc możemy podzielić powyższą równość stronami przez
.

Podobnie przekształćmy teraz warunek, który mamy wykazać.

Wystarczy teraz sprawdzić, że obliczone wcześniej wartości i
spełniają ten warunek. Sprawdzamy najpierw
.

Tak samo sprawdzamy .

Sposób II
Tak jak w poprzednim sposobie sprawdzamy, że dany warunek jest równoważny równości

a warunek, który mamy wykazać równości

Wystarczy teraz wykazać, że wielomian dzieli się przez trójmian
(bo wtedy każdy pierwiastek
jest też pierwiastkiem
). Dzielimy
przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.

Sposób III
Jeżeli zamienimy w danym warunku na
otrzymamy

Teraz w tym warunku chcemy się pozbyć . Możemy to zrobić korzystając z danego warunku zapisanego w postaci
. Mamy zatem

Zauważmy, że w tym sposobie nie korzystaliśmy z faktu, że jest ciągiem geometrycznym!