Zadanie nr 1091721
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest boków i
wyraża się wzorem
.
- Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
- Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.
- Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
- Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.
Rozwiązanie
- Podstawiamy
do danego wzoru.
Odpowiedź: 170 - Musimy rozwiązać równanie
Zatem
.
Odpowiedź: W trzynastokącie - Liczymy ile przekątnych mają kolejne wielokąty o parzystej liczbie boków,
,
. No i możemy dalej nie liczyć, sześciokąt ma 9 przekątnych.
Mogliśmy też wstawić do wzoru na ilość przekątnych
, co daje
. Widać teraz, że jeżeli
jest nieparzyste to
też jest nieparzyste. Aby mieć przykład wystarczy wziąć
(czyli
).
Odpowiedź: Podane zdanie nie jest prawdziwe. - Jeżeli
jest liczbą nieparzystą, to liczba
jest liczbą całkowitą i liczba przekątnych wynosi
Widać więc, że jest ona wielokrotnością
.