Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kwadratowy, 1091721

Forum

Dowolny

Zadanie nr 1091721

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest $n$ boków i $n ≥ 3$ wyraża się wzorem $Pn = n(n−3) 2$ .

Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.
Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.

Rozwiązanie

Podstawiamy $n = 20$ do danego wzoru. $20 ⋅17 P20 = -------= 170. 2$

Odpowiedź: 170
Musimy rozwiązać równanie $n (n − 3) --------- = 5n 2 n 2 − 3n = 10n 2 n − 13n = 0 n (n− 13) = 0.$
Zatem $n = 13$ .
Odpowiedź: W trzynastokącie
Liczymy ile przekątnych mają kolejne wielokąty o parzystej liczbie boków, $P = 2 4$ , $P = 6⋅3-= 9 6 2$ . No i możemy dalej nie liczyć, sześciokąt ma 9 przekątnych.
Mogliśmy też wstawić do wzoru na ilość przekątnych $n = 2k$ , co daje $P = k(2k − 3) 2k$ . Widać teraz, że jeżeli $k$ jest nieparzyste to $P2k$ też jest nieparzyste. Aby mieć przykład wystarczy wziąć $k = 3$ (czyli $n = 6$ ).
Odpowiedź: Podane zdanie nie jest prawdziwe.
Jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $n−3- 2$ jest liczbą całkowitą i liczba przekątnych wynosi $n ⋅ n-−-3-. 2$
Widać więc, że jest ona wielokrotnością $n$ .

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!