/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Dany przez sumy wyrazów

Zadanie nr 1433905

Wyznacz wszystkie ciągi geometryczne o wyrazach różnych od zera, w których każdy wyraz, rozpoczynając od wyrazu trzeciego, jest równy średniej arytmetycznej dwóch poprzednich wyrazów.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Powiedzmy, że nasz ciąg to 2 3 a,aq,aq ,aq ,... . Zauważmy najpierw, że wystarczy aby podany warunek był spełniony dla wyrazu trzeciego, a wtedy automatycznie jest spełniony dla wszystkich następnych wyrazów. Rzeczywiście, jeżeli

2aq 2 = a+ aq

to mnożąc tę równość przez qk mamy

k+ 2 k k+1 2aq = aq + aq .

Pozostaje sprawdzić kiedy

2 2aq = a + aq / : a 2q2 = 1 + q 2q2 − q− 1 = 0

Liczymy Δ = 1 + 8 = 9 , q = − 12 lub q = 1 . Zatem dowolny ciąg a = a n lub a = a(− 1)n− 1 n 2 , gdzie a ⁄= 0 spełnia warunki zadania.  
Odpowiedź: an = a lub 1 an = a(− 2)n−1 , gdzie a ⁄= 0

Wersja PDF