/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Trzywyrazowy/1 niewiadoma

Zadanie nr 3008272

Dany jest ciąg (an) określony wzorem 5−-3n- an = 7 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Trójwyrazowy ciąg (a4,x2 + 2,a11) , gdzie x jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz x oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

5 − 1 2 a4 = ------- = − 1 7 a = 5-−-3-3 = − 4. 11 7

Jeżeli trzy liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to b2 = ac . Mamy zatem równanie

(x2 + 2)2 = a 4a11 = 4 2 2 x + 2 = − 2 lub x + 2 = 2 x2 = − 4 lub x2 = 0.

Pierwsze równanie jest oczywiście sprzeczne, a z drugiego mamy x = 0 . Dany ciąg geometryczny ma więc postać

(− 1,2 ,− 4 )

i jego iloraz q jest równy

2 q = ----= − 2. − 1

 
Odpowiedź: x = 0, q = −2

Wersja PDF