Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4802711

Wyznacz wszystkie wartości α , gdzie α ⁄= kπ , k ∈ C , dla których trzy liczby ctg α , sin α , 16 co sα , tworzą ciąg geometryczny (w podanej kolejności).

Wersja PDF
Rozwiązanie

Trzy niezerowe liczby a,b i c tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy gdy b2 = ac . Mamy zatem równanie

sin2α = ctgα ⋅ 1-cos α 6 2 cos-α 1- sin α = sin α ⋅6 cosα / ⋅6 sin α 3 2 6sin α = cos α 6sin3 α = 1 − sin2α .

Podstawiamy teraz t = sinα i otrzymujemy równanie wielomianowe

6t3 + t2 − 1 = 0 .

Jak zwykle szukamy pierwiastków wymiernych tego równania. Szukamy wśród liczb postaci p q , gdzie p dzieli -1, a q dzieli 6. Szukamy zatem wśród liczb

−1 ,1,− 1, 1-,− 1, 1-,− 1, 1-. 2 2 3 3 6 6

Jak zaczniemy to sprawdzać, to okaże się, że  1 t = 2 jest pierwiastkiem. Dzielimy teraz dany wielomian przez (t− 12) . My, jak zwykle, zrobimy to grupując wyrazy.

 3 2 2 2 6t −( 3t + )3t + t − 1 = 0 2 1- 2 6t t − 2 + 4t − 2t+ 2t− 1 = 0 ( ) ( ) ( ) 6t2 t − 1- + 4t t − 1- + 2 t − 1- = 0 2 2 2 ( 1 ) t− -- (6t2 + 4t+ 2) = 0. 2

Ponieważ wielomian kwadratowy w nawiasie nie ma pierwisatków (Δ < 0 ), t = 12 jest jedynym rozwiązaniem. Mamy zatem sin α = 12 , czyli

 π- 5- α = 6 + 2k π lub α = 6π + 2kπ,

gdzie k ∈ C .  
Odpowiedź: α = π-+ 2kπ lub α = 5 π + 2kπ 6 6

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!