Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4954456

Dla jakich liczb x ∈ ⟨0 ,2 π⟩ liczby  √ -- 1, 2 sin x,co s2x są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Trzy niezerowe liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego wtedy i tylko wtedy gdy kwadrat środkowej jest iloczynem sąsiednich. Jeżeli sin x = 0 to cos 2x = ± 1 i na pewno nie mamy ciągu geometrycznego. Podobnie dla co s2x = 0 . Możemy zatem założyć, że liczby te są niezerowe i mamy

 2 2 sin x = 1 ⋅cos 2x.

Korzystamy teraz ze wzoru cos2x = 1− 2sin2 x .

2sin2x = 1− 2sin2 x 2 4sin x = 1 1 1 sinx = -- ∨ sin x = − --. 2 2

W podanym przedziale daje to nam rozwiązania

π 5π 7π 1 1π 6-,-6-,-6-,--6- .

 
Odpowiedź:  { } π- 5π-7π- 11π x ∈ 6 , 6 , 6 , 6

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!