/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Trzywyrazowy/1 niewiadoma

Zadanie nr 4954456

Dla jakich liczb x ∈ ⟨0 ,2 π⟩ liczby √ -- 1, 2 sin x,co s2x są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Trzy niezerowe liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego wtedy i tylko wtedy gdy kwadrat środkowej jest iloczynem sąsiednich. Jeżeli sin x = 0 to cos 2x = ± 1 i na pewno nie mamy ciągu geometrycznego. Podobnie dla co s2x = 0 . Możemy zatem założyć, że liczby te są niezerowe i mamy

2 2 sin x = 1 ⋅cos 2x.

Korzystamy teraz ze wzoru cos2x = 1− 2sin2 x .

2sin2x = 1− 2sin2 x 2 4sin x = 1 1 1 sinx = -- ∨ sin x = − --. 2 2

W podanym przedziale daje to nam rozwiązania

π 5π 7π 1 1π 6-,-6-,-6-,--6- .

 
Odpowiedź: { } π- 5π-7π- 11π x ∈ 6 , 6 , 6 , 6

Wersja PDF