/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Trzywyrazowy/1 niewiadoma

Zadanie nr 5349829

Dla jakich x ∈ R ∖ {2} , liczby 2 (x− 2) , 2 x − 4 , 2 2x + 9x− 2 w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny? Dla znalezionej wartości x wyznacz ciąg i jego iloraz.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli trzy liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to b2 = ac . Mamy zatem równanie

2 2 2 2 (x − 4) = (x − 2) (2x + 9x − 2 ) (x− 2)2(x+ 2)2 = (x − 2)2(2x 2 + 9x − 2).

Skoro x ⁄= 2 (z założenia), możemy podzielić obie strony przez 2 (x − 2) i pozostaje równanie.

2 2 (x + 2) = 2x + 9x − 2 0 = 2x2 + 9x − 2 − x2 − 4x − 4 2 0 = x + 5x − 6 Δ = 25 + 24 = 49 = 72 x = − 6 ∨ x = 1.

Mamy zatem ciągi

(64,32,16 ), q = 1- 2 (1,− 3,9), q = −3 .

 
Odpowiedź: 1 (64 ,3 2,16), q = 2 lub (1,− 3,9), q = − 3

Wersja PDF