Zadanie nr 6609067
Wiadomo, że liczby ,
,
są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem nieskończonego ciągu geometrycznego. Wyznacz
. Dla wyznaczonej wartości
zapisz wzór tego ciągu i oblicz sumę jego wszystkich wyrazów.
Rozwiązanie
Liczby niezerowe są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego jeżeli
. Mamy zatem
![( a ) 2 ( ) ( ) 3-+--1- 2a ----4---- 3 = 3 + 3 ⋅ 8 ⋅3a + 3](https://img.zadania.info/zad/6609067/HzadR2x.gif)
Aby uprościć sobie trochę przekształcanie powyższego równania oznaczmy .
![( t+ 1 )2 4 ----- = (t2 + 3) ⋅------ /⋅ 9(8t+ 3 ) 3 8t+ 3 (t + 1)2(8t+ 3) = 36(t2 + 3) (t2 + 2t+ 1)(8t+ 3) = 36t2 + 108 3 2 2 8t + 19t + 14t+ 3 = 36t + 108 8t3 − 17t2 + 14t− 105 = 0 .](https://img.zadania.info/zad/6609067/HzadR4x.gif)
Szukamy teraz pierwiastków całkowitych tego równania – sprawdzamy najpierw dzielniki wyrazu wolnego . Jednym z pierwiastków jest
, więc dzielimy ten wielomian przez
. My jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 8t − 17t + 14t − 105 = (8t − 24t ) + (7t − 21t)+ (35t− 105) = = 8t2(t − 3) + 7t(t− 3)+ 3 5(t− 3) = = (t− 3)(8t2 + 7t+ 35).](https://img.zadania.info/zad/6609067/HzadR8x.gif)
Trójmian w nawiasie nie ma rozwiązań, bo , więc jedynym rozwiązaniem jest
. Stąd
i dwa pierwsze wyrazy danego ciągu są równe
![2 a1 = t + 3 = 12 t+ 1 4 a2 = ----- = -. 3 3](https://img.zadania.info/zad/6609067/HzadR12x.gif)
Iloraz ciągu jest więc równy
![a 2 4 1 q = ---= -3-= -. a 1 12 9](https://img.zadania.info/zad/6609067/HzadR13x.gif)
Stąd wzór ciągu to
![( )n −1 an = a1qn− 1 = 12 ⋅ 1- . 9](https://img.zadania.info/zad/6609067/HzadR14x.gif)
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu geometrycznego jest równa
![S = -a1---= --12-- = 12-= 12-⋅9-= 27. 1− q 1 − 19 89 8 2](https://img.zadania.info/zad/6609067/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: ,
,