/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Trzywyrazowy/1 niewiadoma

Zadanie nr 9580974

Dany jest ciąg (an) określony wzorem 66−8n an = 9 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Trójwyrazowy ciąg (a15,1− x2,a9) , gdzie jest dodatnią liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

66− 120 54 a 15 = ---------= − ---= − 6 9 9 a = 66−--72-= − 6-= − 2-. 9 9 9 3

Jeżeli trzy liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to b2 = ac . Mamy zatem równanie

(1 − x2)2 = a 15a9 = 4 2 2 1− x = − 2 lub 1− x = 2 x 2 = 3 lub x2 = − 1.

Drugie równanie jest oczywiście sprzeczne, a z pierwszego mamy x = ± √ 3- . Ponieważ z założenia x > 0 , więc √ -- x = 3 i dany ciąg geometryczny ma postać