Zadanie nr 9896366
Ciąg jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że
, gdzie
oznacza sumę
początkowych wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie
Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego muszą spełniać warunek:
. W naszej sytuacji prowadzi to do równania.
![2 (x + 3 ) = (x− 3)(6x + 2) x 2 + 6x + 9 = 6x2 + 2x − 18x − 6 0 = 5x2 − 22x − 15 2 Δ = 48 4+ 3 00 = 784 = 28 22-−-28- -6- 3- 22-+-28- x = 10 = − 10 = − 5 ∨ x = 10 = 5.](https://img.zadania.info/zad/9896366/HzadR2x.gif)
W pierwszym przypadku , więc musi być
. Wtedy iloraz ciągu jest równy
![x+--3- 8- q = x− 3 = 2 = 4.](https://img.zadania.info/zad/9896366/HzadR5x.gif)
Pozostało uzasadnić podaną nierówność. Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego mamy
![1−419 19 S19-= 2⋅--1−-4- = 1-−-4--. S20 2⋅ 1−420 1 − 420 1− 4](https://img.zadania.info/zad/9896366/HzadR6x.gif)
Będziemy teraz przekształcać (przy pomocy równoważności) podaną w zadaniu nierówność.
![1 − 4 19 1 ------- < -- / ⋅4(1− 420) 1 − 4 20 4 4 − 420 > 1 − 420 4 > 1.](https://img.zadania.info/zad/9896366/HzadR7x.gif)
Otrzymaliśmy prawdziwą nierówność, więc ponieważ nasze przekształcenia były równoważnościami, wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.
Odpowiedź: