Zadanie nr 1480099

Gdyby wszystkie trzy liczby dzieliły się przez 4, to 2010 dzieliłoby się przez 4, a łatwo sprawdzić, że się nie dzieli.

Musimy zatem wykluczyć możliwość, że dokładnie dwie z liczb dzielą się przez 4. Przypuśćmy przeciwnie, że np. liczby i dzielą się, a nie dzieli się przez 4. Zauważmy, że w takiej konfiguracji musi być liczbą parzystą (bo inaczej lewa strona równania jest nieparzysta).

W takim razie nasze założenia możemy zapisać w postaci

dla pewnych liczb całkowitych . Podstawiając do danego równania mamy

Teraz wystarczy zauważyć, że lewa strona dzieli się przez 4, a prawa nie, co stanowi sprzeczność. W takim razie nie jest możliwe, aby dwie spośród liczb i dzieliły się przez 4.

Sprawdźmy jakie reszty z dzielenie przez 4 mogą dawać kwadraty liczb całkowitych.

Jeżeli to dzieli się przez 4, czyli daje resztę 0.

Jeżeli to , więc daje resztę 1.

Jeżeli to , więc daje resztę 0.

Jeżeli to , więc daje resztę 1.

To oznacza, że kwadrat liczby całkowitej zawsze daje resztę 0 lub 1 przy dzieleniu przez 4. Z drugiej strony,

co oznacza, że reszty dokładnie dwóch spośród liczb to jedynki, a jedna reszta to 0 (jest to jedyna możliwość, żeby w sumie wyszło 2). To oznacza, że co najwyżej jedna z liczb może dzielić się przez 4 (ta której kwadrat daje resztę 0).

Uwaga. Można pokazać, że wszystkie naturalne rozwiązania danego równania, w których to

Wszystkie naturalne rozwiązania otrzymamy permutując powyższe trójki, a wszystkie całkowite rozwiązania otrzymamy dodatkowo dowolnie zmieniając znaki liczb .