Zadanie nr 2069503

Wykaż, że liczba 48 48 3 − 2 jest podzielna przez 13.

Rozwiązanie

Sposób I

Będziemy rozkładać podane wyrażenie korzystając ze wzorów

2 2 a − b = (a − b)(a + b) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).

Z którego z tych wzorów będziemy korzystać najpierw? Zastanówmy się co chcemy dostać: przy rozkładach będziemy otrzymywać wyrażenia postaci k k 3 − 2 , gdzie jest dzielnikiem . Sprawdźmy dla jakiej najmniejszej liczby liczba tej postaci dzieli się przez 13. Sprawdzamy po kolei.

3 − 2 = 1 2 2 3 − 2 = 5 33 − 23 = 19 4 4 3 − 2 = 81 − 16 = 65 = 5 ⋅13.

Rozkładamy więc daną liczbę tak, aby otrzymać 34 − 24 .

48 48 16 3 16 3 16 16 32 16 16 32 3 − 2 = (3 ) − (2 ) = (3 − 2 )(3 + 3 ⋅ 2 + 2 ) = = ((38)2 − (28)2)(332 + 316 ⋅216 + 232) = 8 8 8 8 32 16 16 32 = (3 − 2 )(3 + 2 )(3 + 3 ⋅2 + 2 ) = = (34 − 24)(34 + 24)(38 + 28)(332 + 316 ⋅2 16 + 232) = = 5 ⋅13 ⋅(34 + 24)(38 + 28)(332 + 316 ⋅216 + 232)

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru

an − bn = (a − b)(an− 1 + an −2b + ⋅⋅⋅+ abn−2 + bn− 1).

Tak jak w pierwszym sposobie ustalamy, że liczba 34 − 24 jest podzielna przez 13. Korzystamy więc z powyższego wzoru dla n = 12 .

348 − 248 = (34)12 − (24)12 = (3 4 − 24)(344 + 340 ⋅ 24 + 336 ⋅28 + ⋅⋅⋅+ = 5⋅1 3⋅(344 + 340 ⋅ 24 + 336 ⋅28 + ⋅⋅⋅+ 244)

Sposób III

Zadanie łatwo wynika z tzw. małego twierdzenia Fermata. Mówi on, że jeżeli jest liczbą pierwszą i jest względnie pierwsze z , to liczba p−1 a − 1 jest podzielna przez . Zatem 13 dzieli liczby 312 − 1 oraz 212 − 1 . Dzieli więc też ich różnicę