Zadanie nr 2070392

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej i dla każdej liczby całkowitej liczba k8m 2 − k2m 8 jest podzielna przez 36.

Rozwiązanie

Zauważmy, że

8 2 2 8 2 2 6 6 2 2 3 3 3 3 k m − k m = k m (k − m ) = k m (k − m )(k + m ) = = k2m 2(k− m )(k2 + km + m 2)(k+ m )(k2 − km + m 2) = ( ) ( ) = k2m 2(k− m ) (k − m )2 + 3km (k+ m) (k + m )2 − 3km .

Widać teraz, że liczba ta dzieli się przez 4 – jeżeli lub są parzyste, to przez 4 dzieli się k2m 2 , a jeżeli obie są nieparzyste, to przez 4 dzieli się (k − m )(k+ m ) .

Zastanówmy się nad podzielnością przez 9. Jeżeli jedna z liczb lub dzieli się przez 3, to podzielny przez 9 jest iloczyn 2 2 k m . Jeżeli liczby i dają takie same reszty z dzielenia przez 3, to ( ) (k − m )( (k − m )2 + 3km ) dzieli się przez 9. Podobnie, jeżeli reszty z dzielenia i przez 3 to 1 i 2 lub 2 i 1 (w jakiejkolwiek kolejności), to przez 9 dzieli się (k + m )( (k + m )2 − 3km ) .