Zadanie nr 3112246

Liczby naturalne dodatnie a ,b ,c spełniają równanie 2 2 2 a + b = c . Uzasadnij, że liczba abc jest

Rozwiązanie

Jeżeli jedna z liczb lub jest parzysta to koniec. Jeżeli natomiast obie są nieparzyste, to parzyste musi być jako suma dwóch liczb nieparzystch.
Sprawdźmy jakie reszty z dzielenia przez 3 może dawać kwadrat liczby naturalnej. Jeżeli dzieli się przez 3, to reszta jest 0. Jeżeli , to mamy
$2 2 2 n = 9k + 6k+ 1 = 3(3k + 2k) + 1,$

zatem reszta jest 1. Jeżeli natomiast to

$2 2 2 n = 9k + 12k + 4 = 3(3k + 4k+ 1)+ 1,$

zatem reszta znowu jest 1. Morał z tego taki, że kwadrat liczby naturalnej nie może dawać reszty 2 z dzielenia przez 3.
Jeżeli teraz popatrzymy na równanie

$a2 + b 2 = c2$

to jedna z liczb lub musi dzielić się przez 3. Rzeczywiście, gdyby tak nie było, to lewa strona dawałaby resztę 2 z dzielenia przez 3 (bo kwadrat daje resztę 1), czyli taką samą resztę dawałoby , co, jak już sprawdziliśmy, jest niemożliwe.