/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite

Zadanie nr 5786396

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k5m − km 5 jest podzielna przez 10.

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

5 5 4 4 2 2 2 2 2 2 k m − km = km (k − m ) = km (k − m )(k + m ) = km (k − m )(k+ m )(k + m ).

Widać teraz, że liczba ta jest parzysta, bo albo jedna z liczb k lub m jest parzysta, albo k − m jest parzyste.

Zastanówmy się nad podzielnością przez 5. Jeżeli jedna z liczb k lub m dzieli się przez 5, to podzielny przez 5 jest też iloczyn km . Jeżeli liczby k i m dają takie same reszty z dzielenia przez 5, to k − m dzieli się przez 5. Podobnie, jeżeli reszty z dzielenia k i m przez 5 to 1 i 4 lub 2 i 3 (w jakiejkolwiek kolejności), to przez 5 dzieli się k + m .

Wciąż zostały do sprawdzenia 4 przypadki reszt: 1 i 2, 1 i 3, 2 i 4, 3 i 4. Jeżeli oznaczymy k = 5a+ r1 i m = 5b+ r2 , gdzie r1 i r2 są jedną z czterech wymienionych par reszt, to mamy kolejno

k2 + m 2 = 25a2 + 10a + 1 + 25b 2 + 20b + 4 = 5(5a2 + 2a + 5b2 + 4b + 1) 2 2 2 2 2 2 k + m = 25a + 10a + 1 + 25b + 30b + 9 = 5(5a + 2a + 5b + 6b + 2) k2 + m 2 = 25a2 + 20a + 4 + 25b 2 + 40b + 1 6 = 5(5a2 + 4a + 5b2 + 8b + 4) 2 2 2 2 2 2 k + m = 25a + 30a + 9 + 25b + 40b + 1 6 = 5(5a + 6a + 5b + 8b + 5).

W każdej z tych sytuacji suma 2 2 k + m dzieli się przez 5. Zatem rzeczywiście liczba 5 5 k m − km zawsze dzieli się przez 2⋅5 = 10 .

Sposób II

Parzystość liczby

k5m − km5 = km(k 4 − m 4)

uzasadniamy tak samo jak w poprzednim sposobie. Tak samo też uzasadniamy podzielność przez 5, jeżeli jedna z liczb k lub m dzieli się przez 5. Zauważmy ponadto, że

2 2 2 (5a+ 1) = 25a + 10a + 1 = 5 (5a + 2a)+ 1 (5a+ 2)2 = 25a2 + 20a + 4 = 5 (5a2 + 4a)+ 4 2 2 2 (5a+ 3) = 25a + 30a + 9 = 5 (5a + 6a+ 1)+ 4 (5a+ 4)2 = 25a2 + 40a + 16 = 5(5a2 + 8a+ 3)+ 1.

To oznacza, że kwadrat liczby całkowitej, która nie jest podzielna przez 5 zawsze daje resztę 1 lub 4 przy dzieleniu przez 5. W szczególności, jeżeli k i m nie dzielą się przez 5, to liczba

k4 − m 4 = (k2 − m2)(k2 + m 2)

zawsze dzieli się przez 5 – tak jest, bo albo k2 i m 2 dają te same reszty z dzielenia przez 5, albo dają reszty 1 i 4 (w pewnej kolejności). Zatem rzeczywiście liczba

k5m − km5 = km(k 4 − m 4)

zawsze dzieli się przez 10.

Wersja PDF