Zadanie nr 9140319

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 5, to 4 n daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1.

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 5, to jest postaci n = 5k + r , gdzie jest jedną z liczb: 1, 2, 3, 4. W takim razie

2 2 2 2 2 2 n = (5k + r) = 25k + 1 0kr+ r = 5(5k + 2kr)+ r .

Podstawiając teraz każdą z 4 możliwych wartości zauważmy, że liczba n 2 zawsze daje resztę 1 lub 4 przy dzieleniu przez 5, więc jest postaci n 2 = 5m + s , gdzie s = 1 lub s = 4 . Stąd

n4 = (n2)2 = (5m + s)2 = 2 5m2 + 10ms + s2 = 5(5m 2 + 2ms )+ s2.

Podstawiając teraz s = 1 i s = 4 sprawdzamy, że liczba n 4 w obu przypadkach daje resztę 1 przy dzieleniu przez 5.

Sposób II

Zauważmy, że wystarczy wykazać, że liczba n4 − 1 jest podzielna przez 5. Zauważmy, że

n4 − 1 = (n 2 − 1)(n 2 + 1) = (n − 1)(n + 1)(n 2 + 1).

Wystarczy zatem udowodnić, że jedna z liczb: (n − 1) , (n + 1) lub 2 (n + 1) jest podzielna przez 5. Aby to zrobić załóżmy, że pierwsze dwie liczby nie dzielą się przez 5 – pokażemy, że w takiej sytuacji trzecia liczba musi dzielić się przez 5. Jeżeli żadna z liczb n,n − 1 ,n+ 1 nie dzieli się przez 5, to musi być postaci n = 5k+ 2 lub 5k+ 3 . Mamy wtedy odpowiednio